无穷级数
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![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d3b3177dde333e5442a7d132a37b31b00f4856)
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无穷级数
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比较审敛法(Direct comparison test)是一种判定级数是否收敛的方法。
定理
设两个级数
和
,且
:
如果级数
收敛,则级数
收敛;
设两个级数
和
,且
:
如果级数
发散,则级数
发散。
证明
证明1
设
当
时,则有
:
当级数
收敛时,数列
有界,从而数列
有界,所以级数
收敛;
当级数
发散时,数列
无界,从而数列
无界,所以级数
发散。
证明2
设有级数
与
,其中
绝对收敛(
收敛)。不失一般性地假设对于任何正整数n,都满足
。考虑它们的部分和
由于
绝对收敛,存在实数T,使得
成立。
对于任意n,都有
(因满足
)
由于
为单调不下降序列,
为单调不上升序列(随着n上升,属于
的便多过属于
),给定
,
都属于闭区间
,当N趋向无穷大时,这个区间的长度
趋向于0。这表明
是一个柯西序列,因此收敛于一个极限值。因此
绝对收敛。
参见