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比較審斂法

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無窮級數
無窮級數

比較審斂法(Direct comparison test)是一種判定級數是否收斂的方法。

定理

設兩個級數,且

如果級數收斂,則級數收斂;


設兩個級數,且

如果級數發散,則級數發散。

證明

證明1

時,則有

當級數收斂時,數列有界,從而數列有界,所以級數收斂;

當級數發散時,數列無界,從而數列無界,所以級數發散。

證明2

設有級數,其中絕對收斂(收斂)。不失一般性地假設對於任何正整數n,都滿足。考慮它們的部分和由於絕對收斂,存在實數T,使得成立。

對於任意n,都有 (因滿足)

由於為單調不下降序列,為單調不上升序列(隨着n上升,屬於的便多過屬於),給定都屬於閉區間,當N趨向無窮大時,這個區間的長度趨向於0。這表明是一個柯西序列,因此收斂於一個極限值。因此絕對收斂。

參見