無窮級數
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![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d3b3177dde333e5442a7d132a37b31b00f4856)
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無窮級數
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比較審斂法(Direct comparison test)是一種判定級數是否收斂的方法。
定理
設兩個級數
和
,且
:
如果級數
收斂,則級數
收斂;
設兩個級數
和
,且
:
如果級數
發散,則級數
發散。
證明
證明1
設
當
時,則有
:
當級數
收斂時,數列
有界,從而數列
有界,所以級數
收斂;
當級數
發散時,數列
無界,從而數列
無界,所以級數
發散。
證明2
設有級數
與
,其中
絕對收斂(
收斂)。不失一般性地假設對於任何正整數n,都滿足
。考慮它們的部分和
由於
絕對收斂,存在實數T,使得
成立。
對於任意n,都有
(因滿足
)
由於
為單調不下降序列,
為單調不上升序列(隨着n上升,屬於
的便多過屬於
),給定
,
都屬於閉區間
,當N趨向無窮大時,這個區間的長度
趨向於0。這表明
是一個柯西序列,因此收斂於一個極限值。因此
絕對收斂。
參見