- 本条目中,向量与标量分别用粗体与斜体显示。例如,位置向量通常用
表示;而其大小则用
来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“
”;源变数的标记的后面有单撇号“
”。
在电磁学里,推迟势指的是,响应含时电荷分布或含时电流分布,而产生的推迟标势或推迟矢势。对于这程序,由于“前因”与“后果”之间必然的推迟关系,讯号以光速从源位置传播到场位置,需要有限时间。在某源位置的电流或电荷分布,必须经过一段时间之后,才能够将其影响传播到场位置,产生对应的电磁作用。这一段时间的长久跟源位置与场位置之间距离的远近有关。
理论概念
给予在源位置
的含时电荷分布或含时电流分布,计算在场位置
产生的推迟势。
对于静态的电荷分布和电流分布,电势
和磁矢势
分别定义为
、
;
其中,
是场位置,
是源位置,
是真空电容率,
是真空磁导率,
是电荷密度,
是电流密度,
是体积分的空间,
是微小体元素。
在电动力学里,这两个方程必须加以延伸,才能正确地响应含时电流分布或含时电荷分布。定义推迟时间
为检验时间
减去电磁波传播的时间:
;
其中,
是光速。
假设,从源位置
往场位置
发射出一束电磁波,而这束电磁波在检验时间
抵达观测者的场位置
,则这束电磁波发射的时间是推迟时间
。由于电磁波传播于真空的速度是有限的,观测者检验到电磁波的检验时间
,会不同于这电磁波发射的推迟时间
。
推迟标势
与推迟矢势
分别用方程定义为
、
。
请注意,在这两个含时方程内,源电荷密度和源电流密度都跟推迟时间
有关,而不是与时间无关。
这两个含时方程,是用推理得到的启发式,而不是用任何定律或公理推导出来的。讯号以光速传播,从源位置到场位置,需要有限时间。所以在时间
的推迟势必定是由在推迟时间
的源电荷密度或源电流密度产生的。为了要确定这两个方程的正确性与合理性,必须证明它们满足非齐次的电磁波方程[1]。还有,洛伦茨规范是一个常用的规范,可以较便利地解析电磁辐射的生成问题。稍后会有表示两个方程满足洛伦茨规范条件的证明。
非齐次的电磁波方程
含时电荷分布或含时电流分布所产生的电势或磁矢势,必须遵守达朗贝尔方程,表达为[2]:1
、
。
假若,这些用启发法推理得到的推迟标势
和推迟矢势
不能满足非齐次的电磁波方程,那么,这些推迟势很可能有重大错误,无法适用于期望的用途(从含时源生成电磁辐射)。
设定
为从源位置到场位置的分离矢量:
。
场位置
、源位置
和时间
都是自变数(independent variable)。分离矢量
和其大小
都是应变数(dependent variable),跟场位置
、源位置
有关。推迟时间
也是应变数,跟时间
、分离距离
有关。
推迟标势
的梯度是
。
源电荷密度
的全微分是
。
注意到
、
。
所以,源电荷密度
的梯度是
;
其中,
定义为
。
将这公式代入,推迟标势
的梯度是
。
推迟标势
的拉普拉斯算符是
;
其中,
是三维狄拉克δ函数。
所以,推迟标势满足非齐次的电磁波方程
。
类似地,可以证明推迟矢势
满足非齐次的电磁波方程。
洛伦茨规范条件
给予磁场
,并不是只有一个矢量场
满足条件
。实际上,有无限多个解答。应用一项矢量恒等式,
,给予任意函数
,那么,
也是一个解答。磁矢势的这种特性,称为规范自由。
物理学家时常会选择使用某种规范来解析特定的问题。在电磁学里,洛伦茨规范是一个常用的规范,可以便利地解析电磁辐射的生成问题。洛伦茨规范用微分方程表达为
。
按照前述方法,可以证明推迟标势
和推迟矢势
满足洛伦茨规范。这是一个很好的练习。
广义的含时电磁场
推迟势与电场
、磁场
的关系分别为
、
。
按照前述方法,可以得到电场
和磁场
的方程,又称为杰斐缅柯方程[1]:
、
。
超前势
定义超前时间
为现在时间
加上光波传播的时间:
。
超前标势
与超前矢势
分别用方程表达为
、
。
这两个方程表明,在时间
的超前标势与超前矢势,乃是由在超前时间
的源电荷密度或源电流密度产生的。超前标势
与超前矢势
也满足非齐次的电磁波方程和洛伦茨规范,但它们违反了因果律。这是很严峻的问题,未来发生的事件不应该影响过去发生的事件。在物理学里,超前标势和超前矢势只是很有意思的纯理论问题,并没有任何实际用途。
参阅
参考文献