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达朗贝尔方程

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在经典电动力学中,将描述电磁波的势所满足的一个微分方程组称作达朗贝尔方程(英文:d'Alembert equation)。达朗贝尔方程以数学家让·勒朗·达朗贝尔的名字命名,他于 1747 年将其作为振动弦问题的解决方案推导出来。

达朗贝尔方程是一个非齐次英语Homogeneity and heterogeneity波动方程[1]

形式

达朗贝尔方程的形式如下:

其中磁矢势电势真空光速[1]

推导

经典电动力学中的麦克斯韦方程组如下所示

且有

无源性可以引入磁矢势,有,代入麦克斯韦方程组的第一式得。这说明矢量无旋场,可以用标量势的负梯度描述:

也即

因此

,代入并整理得

采用洛伦茨规范,即,可得

此即达朗贝尔方程,其自由项为电流密度电荷密度

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 郭硕鸿. 《电动力学(第三版)》. 北京: 高等教育出版社. 2008. ISBN 978-7-04-023924-9.