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達朗貝爾方程

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在經典電動力學中,將描述電磁波的勢所滿足的一個微分方程組稱作達朗貝爾方程(英文:d'Alembert equation)。達朗貝爾方程以數學家讓·勒朗·達朗貝爾的名字命名,他於 1747 年將其作為振動弦問題的解決方案推導出來。

達朗貝爾方程是一個非齊次英語Homogeneity and heterogeneity波動方程[1]

形式

達朗貝爾方程的形式如下:

其中磁矢勢電勢真空光速[1]

推導

經典電動力學中的麥克斯韋方程組如下所示

且有

無源性可以引入磁矢勢,有,代入麥克斯韋方程組的第一式得。這說明向量無旋場,可以用純量勢的負梯度描述:

也即

因此

,代入並整理得

採用洛倫茨規範,即,可得

此即達朗貝爾方程,其自由項為電流密度電荷密度

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 郭碩鴻. 《電動力學(第三版)》. 北京: 高等教育出版社. 2008. ISBN 978-7-04-023924-9.