- 本條目中,向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如,位置向量通常用
表示;而其大小則用
來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「
」;源變數的標記的後面有單撇號「
」。
在電磁學裏,推遲勢指的是,響應含時電荷分佈或含時電流分佈,而產生的推遲純量勢或推遲向量勢。對於這程序,由於「前因」與「後果」之間必然的推遲關係,訊號以光速從源位置傳播到場位置,需要有限時間。在某源位置的電流或電荷分佈,必須經過一段時間之後,才能夠將其影響傳播到場位置,產生對應的電磁作用。這一段時間的長久跟源位置與場位置之間距離的遠近有關。
理論概念
給予在源位置
的含時電荷分佈或含時電流分佈,計算在場位置
產生的推遲勢。
對於靜態的電荷分佈和電流分佈,電勢
和磁向量勢
分別定義為
、
;
其中,
是場位置,
是源位置,
是真空電容率,
是真空磁導率,
是電荷密度,
是電流密度,
是體積分的空間,
是微小體元素。
在電動力學裏,這兩個方程式必須加以延伸,才能正確地響應含時電流分佈或含時電荷分佈。定義推遲時間
為檢驗時間
減去電磁波傳播的時間:
;
其中,
是光速。
假設,從源位置
往場位置
發射出一束電磁波,而這束電磁波在檢驗時間
抵達觀測者的場位置
,則這束電磁波發射的時間是推遲時間
。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的,觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間
,會不同於這電磁波發射的推遲時間
。
推遲純量勢
與推遲向量勢
分別用方程式定義為
、
。
請注意,在這兩個含時方程式內,源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間
有關,而不是與時間無關。
這兩個含時方程式,是用推理得到的啟發式,而不是用任何定律或公理推導出來的。訊號以光速傳播,從源位置到場位置,需要有限時間。所以在時間
的推遲勢必定是由在推遲時間
的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要確定這兩個方程式的正確性與合理性,必須證明它們滿足非齊次的電磁波方程式[1]。還有,勞侖次規範是一個常用的規範,可以較便利地解析電磁輻射的生成問題。稍後會有表示兩個方程式滿足勞侖次規範條件的證明。
非齊次的電磁波方程式
含時電荷分佈或含時電流分佈所產生的電勢或磁向量勢,必須遵守達朗貝爾方程式,表達為[2]:1
、
。
假若,這些用啟發法推理得到的推遲純量勢
和推遲向量勢
不能滿足非齊次的電磁波方程式,那麼,這些推遲勢很可能有重大錯誤,無法適用於期望的用途(從含時源生成電磁輻射)。
設定
為從源位置到場位置的分離向量:
。
場位置
、源位置
和時間
都是自變數(independent variable)。分離向量
和其大小
都是應變數(dependent variable),跟場位置
、源位置
有關。推遲時間
也是應變數,跟時間
、分離距離
有關。
推遲純量勢
的梯度是
。
源電荷密度
的全微分是
。
注意到
、
。
所以,源電荷密度
的梯度是
;
其中,
定義為
。
將這公式代入,推遲純量勢
的梯度是
。
推遲純量勢
的拉普拉斯算符是
;
其中,
是三維狄拉克δ函數。
所以,推遲純量勢滿足非齊次的電磁波方程式
。
類似地,可以證明推遲向量勢
滿足非齊次的電磁波方程式。
勞侖次規範條件
給予磁場
,並不是只有一個向量場
滿足條件
。實際上,有無限多個解答。應用一項向量恆等式,
,給予任意函數
,那麼,
也是一個解答。磁向量勢的這種特性,稱為規範自由。
物理學家時常會選擇使用某種規範來解析特定的問題。在電磁學裏,勞侖次規範是一個常用的規範,可以便利地解析電磁輻射的生成問題。勞侖次規範用微分方程式表達為
。
按照前述方法,可以證明推遲純量勢
和推遲向量勢
滿足勞侖次規範。這是一個很好的練習。
廣義的含時電磁場
推遲勢與電場
、磁場
的關係分別為
、
。
按照前述方法,可以得到電場
和磁場
的方程式,又稱為傑斐緬柯方程式[1]:
、
。
超前勢
定義超前時間
為現在時間
加上光波傳播的時間:
。
超前純量勢
與超前向量勢
分別用方程式表達為
、
。
這兩個方程式表明,在時間
的超前純量勢與超前向量勢,乃是由在超前時間
的源電荷密度或源電流密度產生的。超前純量勢
與超前向量勢
也滿足非齊次的電磁波方程式和勞侖次規範,但它們違反了因果律。這是很嚴峻的問題,未來發生的事件不應該影響過去發生的事件。在物理學裏,超前純量勢和超前向量勢只是很有意思的純理論問題,並沒有任何實際用途。
參閱
參考文獻