磁矩 是磁鐵的一種物理性質。處於外磁場 的磁鐵 ，會感受到力矩 ，促使其磁矩沿外磁場的磁場線 方向排列。磁矩可以用向量 表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極 指向指北極 ，磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩，載流迴路 、電子 、分子 或行星 等等，都具有磁矩。
科學家至今尚未發現宇宙中存在有磁單極子 。一般磁性物質 的磁場，其泰勒展開 的多極展開式 ，由於磁單極子 項目恆等於零，第一個項目是磁偶極子 項、第二個項目是磁四極子 （quadrupole ）項，以此类推。磁矩也分為磁偶極矩、磁四極矩等等部分。從磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等，可以分別計算出磁場的磁偶極子項目、磁四極子項目等等。隨著距離的增遠，磁偶極矩部分會變得越加重要，成為主要項目，因此，磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩。有些教科書內，磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同[1]
概述 一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載電流 乘以迴路面積：
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
其中，
μ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
I
{\displaystyle I\,\!}
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
右手定則 決定。
處於外磁場的載流迴圈，其感受到的力矩和其勢能 與磁偶極矩的關係為：
τ
=
μ
×
B
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}
U
=
−
μ
⋅
B
{\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
其中，
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
U
{\displaystyle U\,\!}
許多基本粒子 ，例如電子 ，都具有內稟磁矩 。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源，許多物理現象也和此有關。這種磁矩和古典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋 有關，必須用量子力學 來解釋。這些內稟磁矩是量子化 的，最小的基本單位，常常稱為「磁子 」（magneton ）。例如，電子自旋 的磁矩與波耳磁子 的關係式為：
μ
s
=
−
g
s
μ
B
S
/
ℏ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}=-g_{s}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}
其中，
μ
s
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}\,\!}
電子自旋g因子
g
s
{\displaystyle g_{s}\,\!}
μ
B
{\displaystyle \mu _{B}\,\!}
波耳磁子 ，
S
{\displaystyle \mathbf {S} \,\!}
自旋 ，
ℏ
{\displaystyle \hbar \,\!}
約化普朗克常數 。
單位 採用國際單位制 ，磁偶極矩的因次 是面積 ×電流 。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法：
1 安培 ·公尺2 = 1 焦耳 ／特斯拉 。 CGS單位制 又可細分為幾種亞單位制：靜電單位制 （electrostatic units ），電磁單位制 （electromagnetic units ）、高斯單位制 。
磁偶極矩單位轉換表[2] 光速 c = 29,979,245,800 ≈ 3·1010
語言
國際單位制
靜電單位制
電磁單位制
高斯單位制
中文
1 安培 ·公尺2 = 1 焦耳 ／特斯拉
= (103 c ) 靜安培 ·公分2
= (103 ) 絕對安培 ·公分2
= (103 ) 爾格 ／高斯
英文
1 A ·m 2 =1 J /T
= (103 c ) statA·cm2
= (103 ) abA·cm2
= (103 ) erg ／Gauss
磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分／秒的光速 。
在這篇文章內，所有的方程式都採用國際單位制。
兩種磁源 在任何物理系統裏，磁矩最基本的源頭有兩種：
電荷 的運動，像電流，會產生磁矩。只要知道物理系統內全部的電流密度分佈（或者所有的電荷的位置和速度），理論上就可以計算出磁矩。像電子、質子 一類的基本粒子會因自旋而產生磁矩。每一種基本粒子的內稟磁矩的大小都是常數，可以用理論推導出來，得到的結果也已經通過做實驗核對至高準確度。例如，電子磁矩的測量值是−9.284764×10−24 焦耳／特斯拉[3] 整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和。例如，氫原子 的磁場是以下幾種磁矩的向量和：
電子的自旋。
電子環繞著質子的軌域運動。
質子的自旋。 再舉個例子，構成條形磁鐵的物質，其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和，是條形磁鐵的磁矩。
計算磁矩的方程式 平面迴圈 假設一個平面載流迴圈的面積向量為
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
I
{\displaystyle I\,\!}
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
對於最簡單的案例，平面載流迴圈的磁偶極矩
μ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
其中，
I
{\displaystyle I\,\!}
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則 給出：令四隻手指朝著電流方向彎曲，伸直大拇指，則大拇指所指的方向即是面積向量的方向，也是磁偶極矩的方向。
這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩，像磁四極矩，磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
任意迴路 對於任意迴路案例，假設迴路載有恆定電流
I
{\displaystyle I\,\!}
μ
=
I
∫
S
d
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}
其中，
S
{\displaystyle \mathbb {S} \,\!}
C
{\displaystyle \mathbb {C} \,\!}
S
{\displaystyle \mathbb {S} \,\!}
d
a
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} \,\!}
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
引用向量恆等式
∫
S
d
a
=
1
2
∮
C
r
×
d
ℓ
{\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} ={\frac {1}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式
μ
=
I
2
∮
C
r
×
d
ℓ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {I}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!}
任意電流分佈 對於最廣義的任意電流分佈案例，磁偶極矩為
μ
=
1
2
∫
V
r
×
J
d
V
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \mathbf {J} \ \mathrm {d} V\,\!}
其中，
V
{\displaystyle \mathbb {V} \,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
J
{\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
電流密度 ，
d
V
{\displaystyle \mathrm {d} V\,\!}
任意一群移動電荷，像旋轉的帶電固體，都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。
基本粒子 在原子物理學 和核子物理 學裏，磁矩的大小標記為
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
波耳磁子 或核磁子 （nuclear magneton ）。磁矩關係到粒子的自旋，和／或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩：
一些基本粒子的內稟磁矩和自旋[4]
粒子
內稟磁矩（10−27 焦耳 ／特斯拉 ）
自旋量子數
電子 -9284.764
1/2
質子 +14.106067
1/2
中子 -9.66236
1/2
緲子 -44.904478
1/2
重氫 +4.3307346
1
氫-3 +15.046094
1/2
欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係，請參閱條目磁化強度 。
載流迴路產生的磁場 磁偶極子的磁場線 。從側面望去，磁偶極子豎立於繪圖的中央。 載流迴路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極項目。但是，隨著距離的增遠，這些多極項目會更快速地減小，因此，在遠距離位置，只有偶極項目是磁場的顯要項目。
思考一個載有恆定電流
I
{\displaystyle I\,\!}
C
{\displaystyle \mathbb {C} \,\!}
磁矢勢
A
{\displaystyle \mathbf {A} \,\!}
A
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
∮
C
′
d
ℓ
′
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} '}\ {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}
d
ℓ
′
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!}
μ
0
{\displaystyle \mu _{0}\,\!}
磁常數 。
假設檢驗位置足夠遠，
r
>
r
′
{\displaystyle r>r'\,\!}
1
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!}
泰勒展開 為
1
|
r
−
r
′
|
=
1
r
∑
n
=
0
∞
(
r
′
r
)
n
P
n
(
cos
θ
′
)
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\ \left({\frac {r'}{r}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta ')\,\!}
其中，
P
n
(
cos
θ
′
)
{\displaystyle P_{n}(\cos \theta ')\,\!}
勒讓德多項式 ，
θ
′
{\displaystyle \theta '\,\!}
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '\,\!}
夾角 。
所以，磁矢勢展開為
A
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
∑
n
=
0
∞
1
r
n
+
1
∮
C
′
(
r
′
)
n
P
n
(
cos
θ
′
)
d
ℓ
′
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {1}{r^{n+1}}}\oint _{\mathbb {C} '}\ (r')^{n}P_{n}(\cos \theta ')\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!}
思考
n
=
0
{\displaystyle n=0\,\!}
A
0
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
r
∮
C
′
d
ℓ
′
=
0
{\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r}}\oint _{\mathbb {C} '}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'=0\,\!}
由於閉合迴路的向量線積分等於零，磁單極子項目恆等於零。
再思考
n
=
1
{\displaystyle n=1\,\!}
A
1
(
r
)
=
μ
0
I
4
π
r
2
∮
C
′
r
′
cos
θ
′
d
ℓ
′
=
μ
0
I
4
π
r
2
(
−
r
^
×
∮
S
′
d
a
′
)
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ \oint _{\mathbb {C} '}\ r'\cos \theta '\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ (-{\hat {\mathbf {r} }}\times \oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} ')\,\!}
注意到磁偶極矩為
μ
=
I
∮
S
′
d
a
′
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} '\,\!}
A
1
(
r
)
=
μ
0
4
π
μ
×
r
^
r
2
{\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ {\frac {{\boldsymbol {\mu }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}\,\!}
偶極磁場
B
1
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}\,\!}
B
1
(
r
)
=
∇
×
A
1
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )\,\!}
由於磁偶極子的向量勢有一個奇點 在它所處的位置（原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
B
1
(
r
)
=
μ
0
4
π
r
3
[
3
(
μ
⋅
r
^
)
r
^
−
μ
]
+
2
μ
0
3
μ
δ
3
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left[3({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-{\boldsymbol {\mu }}\right]+{\frac {2\mu _{0}}{3}}{\boldsymbol {\mu }}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}
其中，
δ
3
(
r
)
{\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}
狄拉克δ函數 。
偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級 分裂，因而形成了超精細結構 （hyperfine structure ）[5] 天文學 裏，氫原子 的超精細結構給出了21公分譜線 ，在電磁輻射 的無線電波 範圍，是除了3K背景輻射 以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元 （recombination ）至再電離紀元 （reionization ）之間的天文學研究，只能依靠觀測21公分譜線無線電波。
給予幾個磁偶極矩，則按照疊加原理 ，其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和。
處於外磁場的磁偶極子 磁偶極子感受到的磁力矩 處於均勻磁場的一個方形載流迴圈。 如圖右，假設載有電流
I
{\displaystyle I\,\!}
B
=
B
0
z
^
{\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
w
{\displaystyle w\,\!}
y
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\,\!}
−
θ
+
π
/
2
{\displaystyle -\theta +\pi /2\,\!}
垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為
τ
=
(
I
w
B
0
w
sin
θ
2
+
I
w
B
0
w
sin
θ
2
)
y
^
=
I
w
2
B
0
sin
θ
y
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}+IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}\right){\hat {\mathbf {y} }}=Iw^{2}B_{0}\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\,\!}
另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為
μ
=
I
w
2
μ
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=Iw^{2}{\hat {\boldsymbol {\mu }}}\,\!}
τ
=
μ
×
B
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!}
令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持
μ
=
I
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!}
當磁偶極矩垂直於磁場時，磁力矩的大小是最大值
μ
B
0
{\displaystyle \mu B_{0}\,\!}
磁偶極子的勢能 將載流迴圈從角弧
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}\,\!}
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,\!}
機械功
W
{\displaystyle W\,\!}
W
=
−
∫
θ
1
θ
2
τ
d
θ
=
−
∫
θ
1
θ
2
μ
B
0
sin
θ
d
θ
=
μ
B
0
(
cos
θ
2
−
cos
θ
1
)
{\displaystyle W=-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ d\theta =-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\mu B_{0}\sin {\theta }\ d\theta =\mu B_{0}(\cos {\theta _{2}}-\cos {\theta _{1}})\,\!}
注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向 ，而
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
順時針方向 遞增，所以必須添加一個負號。設定
θ
1
=
π
/
2
{\displaystyle \theta _{1}=\pi /2\,\!}
W
=
μ
B
0
cos
θ
2
=
μ
⋅
B
{\displaystyle W=\mu B_{0}\cos {\theta _{2}}={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
對抗這磁場的磁力矩，將載流迴圈從角弧
π
/
2
{\displaystyle \pi /2\,\!}
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,\!}
機械功
W
a
{\displaystyle W_{a}\,\!}
W
a
=
−
W
=
−
μ
⋅
B
{\displaystyle W_{a}=-W=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
定義載流迴圈的勢能
U
{\displaystyle U\,\!}
機械功
W
a
{\displaystyle W_{a}\,\!}
U
=
−
μ
⋅
B
{\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!}
與前段所述同理，磁偶極子的勢能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時，勢能等於零；當磁偶極矩與磁場呈相同方向時，勢能是最小值
−
μ
B
0
{\displaystyle -\mu B_{0}\,\!}
μ
B
0
{\displaystyle \mu B_{0}\,\!}
非均勻磁場 假設外磁場為均勻磁場，則作用於載流迴路
C
′
{\displaystyle \mathbb {C} '\,\!}
F
=
I
∮
C
′
d
ℓ
′
×
B
=
0
{\displaystyle \mathbf {F} =I\oint _{\mathbb {C} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times \mathbf {B} =0\,\!}
假設外磁場為非均勻的，則會有一股磁場力，作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同，求得的磁場力也會不同[6]
F
ℓ
=
∇
(
μ
⋅
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{\ell }=\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} )\,\!}
另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型，計算出的磁場力為
F
d
=
(
μ
⋅
∇
)
B
{\displaystyle \mathbf {F} _{d}=({\boldsymbol {\mu }}\cdot \nabla )\mathbf {B} \,\!}
兩者之間的差別為
F
l
=
F
d
+
μ
×
(
∇
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{l}=\mathbf {F} _{d}+{\boldsymbol {\mu }}\times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,\!}
假設，電流等於零，電場不含時間，則根據馬克士威-安培方程式 ，
∇
×
B
=
0
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =0\,\!}
兩種模型計算出來的磁場力相等。可是，假設電流不等於零，或電場為含時電場，則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951年，兩個不同的實驗，研究中子 的散射 於鐵磁性 物質，分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合[6]
範例 圓形載流迴圈的磁偶極矩 一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如，載有1安培 電流，半徑
r
′
{\displaystyle r'\,\!}
μ
=
π
r
′
2
I
=
π
×
0.05
2
×
1
≈
0.008
[
A
⋅
m
2
]
=
0.008
[
J
/
T
]
{\displaystyle \mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}]=0.008\;[\mathrm {J/T} ]\,\!}
磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩，可以用來建立以下幾點論據：
假設場位置的距離
r
{\displaystyle r\,\!}
r
′
=
0.05
m
{\displaystyle r'=0.05\ \mathrm {m} \,\!}
沿著迴圈的中心軸，磁矩與場位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
B
=
μ
0
4
π
r
3
2
μ
=
4
π
×
10
−
7
4
π
r
3
×
2
×
0.008
≈
1.6
×
10
−
9
r
3
[
T
⋅
m
3
]
{\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}
在包含迴圈的平面的任意位置，磁矩垂直於場位置：
B
=
−
μ
0
4
π
r
3
μ
=
−
4
π
×
10
−
7
4
π
r
3
×
0.008
≈
−
0.8
×
10
−
9
r
3
[
T
⋅
m
3
]
{\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}
負號表示平面任意位置案例與中心軸案例，這兩個案例的磁場呈相反方向。 假設在地球的某地方，地磁場
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
高斯 （5×10−5 特斯拉 ），而且迴圈磁矩垂直於地磁場
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
τ
≈
0.008
×
5
×
10
−
5
=
4
×
10
−
7
[
N
⋅
m
]
{\displaystyle \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ]\,\!}
應用力矩的觀念，可以製造出羅盤 。假設這羅盤的磁針，由於力矩的作用，從磁針的磁矩垂直於地磁場
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
B
E
{\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!}
U
{\displaystyle U\,\!}
U
≈
0.008
×
5
×
10
−
5
=
4
×
10
−
7
[
J
]
{\displaystyle U\approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {J} ]\,\!}
由於羅盤懸浮系統的摩擦機制，這能量是以熱量的形式耗散淨盡。 螺線管的磁矩 螺線管三維電腦繪圖。 一個多匝線圈（或螺線管 ）的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝（單層捲繞），只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數，就可得到總磁矩。然後，這總磁矩可以用來計算磁場，力矩，和儲存能量，方法與使用單匝線圈計算的方法相同。
假設螺線管的匝數為
N
{\displaystyle N\,\!}
a
{\displaystyle a\,\!}
I
{\displaystyle I\,\!}
μ
=
N
I
a
{\displaystyle \mu =NIa\,\!}
載電粒子圓周運動的磁矩 假設，一個點電荷
q
{\displaystyle q\,\!}
v
{\displaystyle v\,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
[7]
I
=
q
v
2
π
r
{\displaystyle I={\frac {qv}{2\pi r}}\,\!}
其磁矩為
μ
=
q
v
2
π
r
π
r
2
=
q
v
r
2
z
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {qv}{2\pi r}}\pi r^{2}={\frac {qvr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
其角動量
J
{\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
J
=
m
v
r
z
^
{\displaystyle \mathbf {J} =mvr{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
其中，
m
{\displaystyle m\,\!}
所以，磁矩與角動量的經典關係為
μ
=
q
2
m
J
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {q}{2m}}\mathbf {J} \,\!}
對於電子，這經典關係為
μ
=
−
e
2
m
e
J
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e}{2m_{e}}}\mathbf {J} \,\!}
其中，
m
e
{\displaystyle m_{e}\,\!}
e
{\displaystyle e\,\!}
假設，這點電荷是個束縛於氫原子 內部的電子。由於離心力 等於庫侖吸引力 ，
1
4
π
ϵ
0
e
2
r
2
=
m
e
v
2
r
{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}=m_{e}{\frac {v^{2}}{r}}\,\!}
其中，
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\!}
電常數 。
現在施加外磁場
B
=
B
z
^
{\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
勞侖茲力 作用於電子。假設軌道半徑不變（這只是一個粗略計算），只有電子的速度改變為
v
B
{\displaystyle v_{B}\,\!}
1
4
π
ϵ
0
e
2
r
2
+
e
v
B
B
=
m
e
v
B
2
r
{\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}+ev_{B}B=m_{e}{\frac {v_{B}^{2}}{r}}\,\!}
所以，
v
B
2
−
v
2
=
(
v
B
+
v
)
(
v
B
−
v
)
=
e
v
B
B
r
m
e
{\displaystyle v_{B}^{2}-v^{2}=(v_{B}+v)(v_{B}-v)={\frac {ev_{B}Br}{m_{e}}}\,\!}
假設，兩個速度的差別
Δ
v
=
v
B
−
v
{\displaystyle \Delta v=v_{B}-v\,\!}
Δ
v
≈
e
B
r
2
m
e
{\displaystyle \Delta v\approx {\frac {eBr}{2m_{e}}}\,\!}
所以，由於施加外磁場
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
Δ
μ
=
−
e
Δ
v
r
2
z
^
=
−
e
2
r
2
4
m
e
B
z
^
{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e\Delta vr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}=-{\frac {e^{2}r^{2}}{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
注意到
Δ
μ
{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}\,\!}
B
{\displaystyle \mathbf {B} \,\!}
抗磁性 的經典解釋。可是，抗磁性是一種量子現像，經典解釋並不正確。
為了簡略計算，使用半經典方法[8]
Δ
μ
=
−
e
2
⟨
r
2
⟩
4
m
e
B
z
^
{\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e^{2}\langle r^{2}\rangle }{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!}
其中，
⟨
r
2
⟩
{\displaystyle \langle r^{2}\rangle \,\!}
期望值 。
電子的磁矩 電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子 屬性，涉及到量子力學 。詳盡細節，請參閱條目電子磁偶極矩 （electron magnetic dipole moment ）。微觀的內稟磁矩集聚起來，形成了巨觀的磁效應和其它物理現象，例如電子自旋共振 。
電子的磁矩是
μ
=
−
g
e
μ
B
S
/
ℏ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{e}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!}
其中，
g
e
{\displaystyle g_{e}\,\!}
μ
B
=
e
ℏ
/
2
m
e
{\displaystyle \mu _{B}=e\hbar /2m_{e}\,\!}
波耳磁子 ，
S
{\displaystyle \mathbf {S} \,\!}
按照前面 計算的經典結果，
g
e
=
1
{\displaystyle g_{e}=1\,\!}
狄拉克力學 裏，
g
e
=
2
{\displaystyle g_{e}=2\,\!}
量子電動力學 效應，它的實際値稍微大些，
g
S
=
2.002
319
304
36
{\displaystyle g_{S}=2.002\,319\,304\,36\,\!}
請注意，由於這方程式內的負號，電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為，經典電磁學 的解釋為：假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷，這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向，這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理，帶有正電荷的正子 （電子的反粒子 ），其磁矩與自旋呈相同方向。
原子的磁矩 在原子內部，可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算，必須先將每一個電子的自旋總和，得到總自旋，再將每一個電子的軌角動量 總和，得到總軌角動量，最後用角動量耦合 （angular momentum coupling ）方法將總自旋和總軌角動量總和，即可得到原子的總角動量。原子的磁矩
μ
{\displaystyle \mu \,\!}
J
{\displaystyle \mathbf {J} \,\!}
[9]
μ
=
−
g
J
μ
B
J
/
ℏ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{J}\mu _{B}\mathbf {J} /\hbar \,\!}
其中，
g
J
{\displaystyle g_{J}\,\!}
朗德g因子 。
磁矩對於磁場方向的分量
μ
z
{\displaystyle \mu _{z}\,\!}
μ
z
=
−
g
J
μ
B
J
z
/
ℏ
{\displaystyle \mu _{z}=-g_{J}\mu _{B}J_{z}/\hbar \,\!}
其中，
J
z
=
J
m
ℏ
{\displaystyle J_{z}=J_{m}\hbar \,\!}
J
m
{\displaystyle J_{m}\,\!}
磁量子數 ，可以取2J+1個整數値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一個整數值。
因為電子帶有負電荷，所以
μ
z
{\displaystyle \mu _{z}\,\!}
處於磁場的磁偶極子的動力學 ，不同於處於電場 的電偶極子 的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子，迫使它依著磁場線 排列。但是，力矩是角動量對於時間的導數。所以，會產生自旋進動 ，也就是說，自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為
1
γ
d
μ
d
t
=
μ
×
H
{\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} \,\!}
其中，
γ
{\displaystyle \gamma \,\!}
迴轉磁比率 （gyromagnetic ratio ） ，
H
{\displaystyle \mathbf {H} \,\!}
注意到這方程式的左手邊項目是角動量對於時間的導數，而右手邊項目是力矩。磁場又可分為兩部分：
H
=
H
e
f
f
−
λ
γ
μ
d
μ
d
t
{\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}
其中，
H
e
f
f
{\displaystyle \mathbf {H} _{eff}\,\!}
λ
{\displaystyle \lambda \,\!}
阻尼 係數。
這樣，可以得到蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式 （Landau–Lifshitz–Gilbert equation ）[10]
1
γ
d
μ
d
t
=
μ
×
H
e
f
f
−
λ
γ
μ
μ
×
d
μ
d
t
{\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\boldsymbol {\mu }}\times {\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!}
方程式右邊第一個項目描述磁偶極子繞著有效磁場的進動，第二個項目是阻尼項目，會使得進動漸漸減弱，最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。
原子核的磁矩 核子系統是一種由核子 （質子 和中子 ）組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核 的磁矩與其核子成員有關，從核磁矩的測量數據，更明確地，從核磁偶極矩的測量數據，可以研究這些量子性質。
雖然有些同位素 原子核的激發態 的衰變期 超長，大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態 。每一個同位素原子核的能態 都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩，其大小是一個常數，通過細心設計的實驗，可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值，就可以揭示核子波函數 的內涵。現今，有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值，也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。
分子的磁矩 任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言，一個分子的磁矩是下列貢獻的總和，按照典型強度從大至小列出：
假若有未配對電子，則是其自旋所產生的磁矩（順磁性 貢獻）
電子的軌域運動，處於基態時，所產生常與外磁場成正比的磁矩（抗磁性 貢獻）
依照核自旋組態，核自旋 所產生的總磁矩。 分子磁性範例 氧 分子，O2 ，由於其最外面的兩個未配對電子的自旋，具有強順磁性。二氧化碳 分子，CO2 ，由於電子軌域運動而產生的，與外磁場成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有狀況下，假若這分子是由具磁性的同位素組成，像13 C或17 O，則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩。氫 分子，H2 ，處於一個弱磁場（或零磁場），會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋異構體 ，正氫 或仲氫 ，都具有這種物理性質。參閱 參考文獻
^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 186, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 ^ Cardarelli, F., Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd , Springer: pp. 20–25, 2004, ISBN 1-8523-3682-X ^ 美國國家標準與技術研究院 （NIST）的實驗値：電子磁矩 （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）
^ 參閱美國國家標準與技術研究院的Fundamental Physical Constants 網頁： . [2010-04-10 ] . （原始内容存档 于2009-08-22）. ^ Griffiths, David J., Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen (PDF) , American Journal of Physics, August 1982, 50 (8): pp. 698 [2010-04-11 ] , （原始内容存档 (PDF) 于2020-05-12） ^ 6.0 6.1 Boyer, Timothy H., The Force on a Magnetic Dipole (PDF) , American Journal of Physics, 1988, 56 (8): pp. 688–692, doi:10.1119/1.15501 [永久失效連結 ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 260–262, 1998, ISBN 0-13-805326-X ^ O'Dell, S. L.; Zia, R. K. P., Classical and semiclassical diamagnetism: A critique of treatment in elementary texts (PDF) , American Journal of Physics, Jan 1986, 54 (1): pp. 32–35 [永久失效連結 ^ RJD Tilley, Understanding Solids, John Wiley and Sons: pp. 368, 2004, ISBN 0470852755 ^ Stuart Alan Rice, Advances in chemical physics 128 , Wiley: pp. 208 ff , 2004, ISBN 0471445282
![{\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left[3({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-{\boldsymbol {\mu }}\right]+{\frac {2\mu _{0}}{3}}{\boldsymbol {\mu }}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3219839d198cc171e9fc086190327a1e8c9e144)
![{\displaystyle \mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}]=0.008\;[\mathrm {J/T} ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26ee6d9fb5121f36b0d403ca5749b2ea056ca74)
![{\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00fc22ede7584bd41652fcde66ce3ae63ea9978f)
![{\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b253da8cd985a73a5a72fdd0ef8facd564cb9837)
![{\displaystyle \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd2ab9683195c82d388f8584885a4b48f6151b7f)
![{\displaystyle U\approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {J} ]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591911ab8461ca280ff496a16fcc2f13ffbe86c2)
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