隨機過程

在概率論中，隨機過程（英語：Stochastic process 或 Random process），又稱隨機函數（英語：Random function）^[1]^[2]，代表一群被足碼標記的隨機變量。隨機過程的實例如股票和匯率的波動、語音信號、視頻信號、體溫的變化，隨機運動如布朗運動、隨機徘徊等等。

定義

定義 —
$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 為一概率空間， $T$ 為一集合。如果有單射 $X:T\to {\mathcal {P}}(\Omega \times \mathbb {R} )$ ，對於所有 $t\in T$ ， $X(t)$ 均為定義 $\Omega$ 上的隨機變量，則 $X$ 稱為 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 上的隨機過程（stochastic process, random process）。

如果要強調 $X$ 的定義域是 $T$ 時，可仿造序列將 $X$ 本身記為 ${\{X_{t}\}}_{t\in T}$ ，並可將 $X(t)$ 記為 $X_{t}$ 。

樣本函數

定義 —
${\{X_{t}\}}_{t\in T}$ 為 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 上的隨機過程，若 $\omega \in \Omega$ ，則：

X_{\omega }:={\bigg \{}\langle t,r\rangle \,{\bigg |}\,(t\in T)\wedge [r=X_{t}(\omega )]{\bigg \}}

被稱為樣本點 $\omega \in \Omega$ 的樣本函數（sample function）。

歷史

為了了解金融市場和研究布朗運動，在19世紀後期人們開始研究隨機過程。第一個用數學語言描述布朗運動的是數學家Thorvald N. Thiele（英語：Thorvald N. Thiele）。他在1880年發表了第一篇關於布朗運動的文章。隨後，在1900年， Louis Bachelier（英語：Louis Bachelier）的博士論文「投機理論」提出了股票和期權市場的隨機分析。阿爾伯特·愛因斯坦（在他1905年的一篇論文中）和瑪麗安·一維Smoluchowski（1906年）從物理界的角度出發，把它作為了一種間接證明了原子和分子的存在。他們所描述的布朗運動方程在1908年被讓·佩蘭核實。

從愛因斯坦的文章的摘錄描述了隨機模型的基本原理：

"它必須明確假定每個單個顆粒執行的運動是獨立於所有其他的粒子的運動;它也將被認為是1的動作和相同的顆粒在不同的時間間隔是獨立的過程，只要這些的時間間隔不是非常小"

"我們引入一時間間隔 $\tau$ 蛋白考慮，相對來說這是非常小的，但是我們可觀察到的時間間隔，仍然過大，在兩個連續時間間隔 $\tau$ 蛋白，由粒子所執行的動作可以被認為是作為彼此獨立的事件"。

架構

在概率論的測量理論中，需要解決一個問題。如何構造一個Σ-代數的所有功能空間的衡量子集，然後把它有限化。為了解決這個問題，採用了 Kolmogorov擴展方法。

Kolmogorov擴展方法過程：

假定所有函數f的空間概率測度： $f:X\to Y$ 存在，那麼它可以被用來指定有限維隨機變量 $f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})$ .的聯合概率分佈。現在從這個n維概率分佈，我們可以推斷出第（n - 1）維邊緣概率為 $f(x_{1}),\dots ,f(x_{n-1})$ 。但是需要注意的是兼容性狀態，即這種邊際概率分佈是在相同的類作為1從完全成熟的隨機過程衍生。例如，如果該隨機過程是一個Wiener過程（在這種情況下，邊緣是指數類的所有高斯分佈），但不是在一般對所有的隨機過程。這種方程稱為查普曼-洛夫方程。

科摩哥洛夫擴展定理保證了隨機過程的有限維概率分佈滿足查普曼 - 科摩哥洛夫的兼容性條件的存在..

分離性

回想一下，在洛夫公理化中存在對於概率問題有還是沒有的不確定性。科摩哥洛夫擴展首先聲明是可衡量的功能，其中有限多個坐標 $[f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})]$ 被限制在 $Y_{n}$ 中可測量的子集所有集合。如果一個是/否有關的問題都可以通過觀察至多有限多個坐標的值回答，那麼它有一個概率的答案。

在測度理論，如果我們有一個可數無限集合測集，所有的人都那麼的聯合和交集是可測集。對於我們而言，這意味着是/否依賴於可數個坐標的問題有一個概率的答案。

參考文獻

^ Gusak, Dmytro; Kukush, Alexander; Kulik, Alexey; Mishura, Yuliya; Pilipenko, Andrey. Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory. Springer Science & Business Media. 2010: 21. ISBN 978-0-387-87862-1.
^ Valeriy Skorokhod. Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. 2005: 42. ISBN 978-3-540-26312-8.

Papoulis, Athanasios & Pillai, S. Unnikrishna. Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 2001. ISBN 0-07-281725-9.
Boris Tsirelson. Lecture notes in Advanced probability theory. （原始內容存檔於2008-11-28）.
J. L. Doob. Stochastic Processes. Wiley. 1953.
An Exploration of Random Processes for Engineers. Free e-book. July 2006 [2010-06-28]. （原始內容存檔於2009-04-17）.

外部連結

An 8 foot tall Probability Machine (named Sir Francis) comparing stock market returns to the randomness of the beans dropping through the quincunx pattern. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） from Index Funds Advisors IFA.com （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Stochastic Processes used in Quantitative Finance, sitmo.com
Addressing Risk and Uncertainty

[GusakKukush2010page21-1] Gusak, Dmytro; Kukush, Alexander; Kulik, Alexey; Mishura, Yuliya; Pilipenko, Andrey. Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory. Springer Science & Business Media. 2010: 21. ISBN 978-0-387-87862-1.

[Skorokhod2005page42-2] Valeriy Skorokhod. Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. 2005: 42. ISBN 978-3-540-26312-8.

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定義

樣本函數

歷史

架構

相關條目

參考文獻

外部連結