连续型均匀分布
概率密度函數 ![](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Uniform_distribution_PDF.png/350px-Uniform_distribution_PDF.png) |
累積分布函數 ![](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Uniform_distribution_CDF.png/350px-Uniform_distribution_CDF.png) |
参数 |
![{\displaystyle a,b\in (-\infty ,\infty )\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d79c923f90446d1dd46d6840c1d27cb62bc2b84) |
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值域 |
![{\displaystyle a\leq x\leq b\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bc7a09950ce8513185a92a2c751a0b076a7e51a) |
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概率密度函数 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&{\mbox{for }}a\leq x\leq b\\\\0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{matrix}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76feefd0137eadfc1df7cdf9f874ff54472c91a) |
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累積分布函數 |
![{\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&~~~~~{\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d437ce3920003ecb7c3baa4e3493788c89c8f2be) |
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期望值 |
![{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a718ab8a5fd8d7581eede9fee34f7d289b76a75f) |
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中位數 |
![{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a718ab8a5fd8d7581eede9fee34f7d289b76a75f) |
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眾數 |
任何 内的值 |
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方差 |
![{\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d6dc6c24b1c0738a227d89abe45242d8326cb8) |
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偏度 |
![{\displaystyle 0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1fcd4157907e63b2975f620e5259bebe0636662) |
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峰度 |
![{\displaystyle -{\frac {6}{5}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af5a1648f47ddf93d66d0b340772c9d5593d458) |
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熵 |
![{\displaystyle \ln(b-a)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6499fdffcf22f8da225465189131abb22d3484ba) |
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矩生成函数 |
![{\displaystyle {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6d9e3f4fd21b68dbed7466f46b19e6df229bda) |
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特徵函数 |
![{\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4bd0ae951cb2f0f49b13e03f2c38f1bdcc8160) |
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連續型均匀分布(英語:continuous uniform distribution)或矩形分布(rectangular distribution)的随机变量
,在其值域之內的每個等長區間上取值的概率皆相等。其概率密度函数在該變量的值域內為常數。若
服從
上的均匀分布,則记作
。
定义
一个均匀分布在区间[a,b]上的连续型随机变量
可给出如下函数:
概率密度函数:
![{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x\leq b\\0&{\mbox{elsewhere}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/476effee8b33659241fd9d495a867ed4b53b2b4e)
累积分布函数:
![{\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/893343fdb3ff511bbd935a9a962673f5c5e64f3a)
MGF:
![{\displaystyle M_{X}(t)=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3397c46bc5350cc4c73304d1f7d4ab0ff9ce1d69)
公式
期望值和中值:
是指连续型均匀分布函数的期望值和中值等于区间[a,b]上的中间点。
![{\displaystyle E[X]={\frac {a+b}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6aac0f969513cf4f324ea28113acaf9956661d2)
方差:
![{\displaystyle VAR[X]={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9230e9d71d8cf078f2ef7e47ab5ff3a458e3ea6d)
均匀分布具有下属意义的等可能性。若
,则X落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率:
![{\displaystyle P(c\leq x\leq d)=F(d)-F(c)=\int _{c}^{d}{\frac {1}{b-a}}\,dx={\frac {d-c}{b-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b2e528a42169f1631cd0874bbeb6abf68ceaa8b)
只与区间[c,d]的长度有关,而与它的位置无关。