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完整。
微分幾何中,一個微分流形上的聯絡的完整[1](英語:holonomy,又譯和樂),描述向量繞閉圈平行移動一週回到起點後,與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性現象,其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。
流形上任意一種聯絡,都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出,例如黎曼幾何中列維-奇維塔聯絡的和樂(稱為黎曼和樂)。向量叢聯絡的和樂、嘉當聯絡的和樂,以及主叢聯絡的和樂。在該些例子中,聯絡的和樂可用一個李群描述,稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關,見安布羅斯-辛格定理。
對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由Élie Cartan (1926)引入,以用於對稱空間的分類上。然而,很久以後,和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年, 喬治·德拉姆證明了德拉姆分解定理:若黎曼流形的切叢可分解成局域和樂群作用下不變的子空間,則該流形分解為黎曼流形的笛卡兒積。稍後,於1953年,馬塞爾·伯格 給出所有不可約和樂的分類[2]。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。
定義
向量叢聯絡的和樂
設 M 為光滑流形,E 為其上的 k 維向量叢,∇ 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 該聯絡定義了一個平行移動映射 Pγ : Ex → Ex. 該映射是可逆線性映射,因此是一般線性群 GL(Ex) 的元素。∇ 以 x 為基點的和樂群定義為
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ 为 以}}\ \ x{\text{ 为 基 点 的 环 圈 }}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1984365f12f9d345b4d782a354839c2d2db6ab0f)
以 x 為基點的限制和樂群是由可縮環圈 γ 給出的子群
.
若 M 連通,則不同基點 x 的和樂群 僅相差 GL(k, R) 的共軛作用。更具體說,若 γ 為 M 中由 x 到 y 的路徑,則
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddaef2d3e7819547b76a025389f53013f1e9d3de)
選取 Ex 的另一組基(即以另一種方式將 Ex 視為與 Rk 等同)同樣會使和樂群變成 GL(k, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中(下同),可將基點略去,但倘如此行,則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。
和樂群的重要性質包括:
是 GL(k, R) 的連通李子群。
是
的單位連通支。
- 存在自然的滿群同態
其中
是 M 的基本群。該同態將同倫類
映到陪集 ![{\displaystyle P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f45886f239253bb83750d0aa8cdbcb2c487134c5)
- 若 M 單連通,則
![{\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dff4ea29db2d61e7c9fd3aa53c5589154d7b4c9)
- ∇ 為平(即曲率恆零)當且僅當
為平凡群。
在物理學中,威爾森迴圈是 tr(P)(特徵標理論的跡)。
主叢聯絡的和樂
主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G 為李群,P 為仿緊光滑流形 M 上的主 G 叢。設 ω 為 P 上的聯絡。給定 M 中一點 x, 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 以及 x 纖維上一點 p, 該聯絡定義了唯一的水平提升
使得
水平提升的終點
未必是 p, 因為其可為 x 纖維上的另一點 p·g. 若兩點 p 和 q 之間有分段光滑的水平提升路徑連接,則稱 p ~ q. 如此,~ 是 P 上的等價關係。
ω 以 p 為基點的和樂群定義為
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db88ccabd0a1c0de74363656690f48d12e57ab32)
若在定義中僅允許可縮環圈 γ 的水平提升,則得到以 p 為基點的受限和樂群
. 其為和樂群
的子群。
若 M 和 P 皆連通,則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說,若 q 是另一個基點,則有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 於是,
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d57e4ae7df00f218bf18a673eceb442920d648)
特別地,
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b0a068abeace08dc9d781d6baaf8b6e017def5e)
再者,若 p ~ q, 則
因此,有時可省略基點不寫,但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。
和樂群的若干性質包括:
是 G 的連通李子群。
是
的單位連通支。
- 存在自然的滿群同態
![{\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841e3dcc51a008dcebe471e6a2c79de5aebae307)
- 若 M 單連通,則
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340a6336246dd134c4409016b33eced57acdd4b9)
- ω 為平(即曲率恆零)當且僅當
為平凡群。
和樂叢
同上,設 M 為連通仿緊流形,P 為其上的主 G 叢,ω 為 P 上的聯絡。設 p ∈ P 為主叢上的任意一點。以 H (p) 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H (p) 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢,且具有結構群
(即 H (p) 是主
叢)。 此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p 的和樂叢。ω 限制到 H (p) 上也是一個聯絡,因為其平行移動映射保持 H (p) 不變。故 H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外,H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持,所以其在該類約化主叢之中為最小。[3]
與和樂群類似,和樂叢在環繞它的主叢 P 中等變。具體說,若 q ∈ P 是另一個基點,則有 g ∈ G 使得 q ~ p g(按假設,M 是路連通的)。故 H (q) = H (p) g. 於是,兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的,即:兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 g.
單延拓群
和樂叢 H (p) 是主
叢,因此受限和樂群
(作為全個和樂群的正規子群)也作用在 H (p) 上。離散群
稱為聯絡的單延拓群。其作用在商叢
上。存在滿同態
使得
作用在
上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。[4]
局域及無窮小和樂
若 π: P → M 為主叢,ω 為 P 的聯絡,則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 U 為 M 的連通開集,則將 ω 限制到 U 上可得叢 π−1U 的聯絡。該叢的和樂群記為
而受限和樂群則記為
其中 p 為滿足 π(p) ∈ U 的點。
若 U ⊂ V 為包含 π(p) 的兩個開集,則有包含關係
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/951998e8825cfe37158440654e97d3072e8f8e15)
p 點的局域和樂群定義為
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U_{k}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe817ebfec2ad882b6e0ff3a9ab092fe948b0d6)
其中 Uk 為任意一族滿足
的遞降(即
)連通開集。
局域和樂群有以下性質:
- 其為受限和樂群
的連通李子群。
- 每點 p 都有鄰域 V 使得
局域和樂群僅取決於 p, 而非序列 Uk 的選取。
- 局域和樂群在結構群 G 的作用下等變,即對任意 g ∈ G,
(注意由性質 1, 局域和樂群是 G 的連通李子群,故伴隨 Ad 有定義。
局域和樂群不一定有全域的良好性質,例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而,有以下的定理:
- 若局域和樂群的維數恆定,則局域和樂群與受限和樂群相等,即
![{\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f998966323dd14bccdc41329dd0e06ad8bd263)
詞源
英文Holonomy與「全純」(Holomorphic)相似,"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生夏爾·布里奧(1817–1882)和讓-克勞迪·波桂(1819–1895)引入,來自希臘文ὅλος(holos)和μορφή(morphē),意思分別是「全」、「形態」。[5]
"Holonomy"與"holomorphic"的前半(holos)一樣。至於後半:
非常難在網絡上找出holonomic(或holonomy)的詞源。我找到(鳴謝普林斯頓的約翰·康威):
我相信潘索(Louis Poinsot)最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中,若某種意義下,能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊,就叫一個和樂的 ("holonomic")系統,所以它的意思「整體法則」("entire-law")很貼切。球在桌上滾動並不和樂,因為沿不同的路徑滾到同一點,可以使球的方向不同。然而,將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思,可能更多時解「數算」(counting)。它與我們的詞數字"number"來自同一個印歐詞根。
——S. Golwala[6]
參見νόμος(nomos)和-nomy。
安布羅斯-辛格定理
安布羅斯-辛格定理(得名自Warren Ambrose and Isadore M. Singer (1953))描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理,先考慮較熟知的情況,如仿射聯絡、切叢聯絡(或其特例列維-奇維塔聯絡)。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈,就會感受到曲率。
引入更多細節,若
是
中某曲面的坐標表示,則向量
可以沿
的邊界平行移動,由原點出發,先沿
,再沿
,再
(
反方向,即由
遞減至
),最後
,回到原點。此為和樂環圈的特例,因為向量
沿該圈平行移動的結果,相當於
邊界的提升,對應的和樂群元素,作用在
上。當平行四邊形縮至無窮小時(即沿更小的平行四邊形圈,對應
坐標中的區域
,而
趨向於
),就會明確得到曲率。換言之,取平行移動映射於
處的導數:
![{\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb85103f0db9b093073f6a9a73212f966039f979)
其中
為曲率張量。[7]所以,粗略而言,曲率給出閉環圈(無窮小平行四邊形)上的無窮小和樂。更嚴格地,曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之,
是
的李代數的元素。
一般來說,考慮結構群為
的主叢
某聯絡的和樂。以
表示
的李代數,則聯絡的曲率形式是
上的
值2-形式
。安布羅斯-辛格定理斷言:[8]
的李代數,是由
中所有形如
的元素線性張成,其中
取遍所有可以用水平曲線
與
連接的點,而
皆是
處的水平切向量。
亦可用和樂叢的說法,複述如下:[9]
的李代數,是
中形如
的元素張成的線性子空間,其中
取遍
的元素,而
取遍
處的水平向量。
黎曼和樂
可約和樂與德拉姆分解
設
為任意一點,則和樂群
作用在切空間
上。視之為群的表示,則可能不可約,亦可能可約,即可以將
分解成正交子空間的直和
![{\displaystyle T_{x}M=T'_{x}M\oplus T''_{x}M,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/235d3f9fa04c0eb35bd40331b1b03cea7842a9d3)
而兩個子空間皆在
作用下不變。此時亦稱
可約。
設
為可約流形。上式說明,在每一點
處,切空間可以約化分解成
和
,所以當
變動時,就定義出向量叢
和
,兩者皆光滑分佈,且是弗比尼斯可積。兩個分佈的積分流形皆為完全測地子流形,換言之,子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察
,是笛卡爾積
。重複上述分解,直到切空間完全約化,則得到(局部)德拉姆同構:[10]
設
為單連通黎曼流形,[11]又設在和樂群的作用下,
為切叢的完全約化分解,而和樂群在
上的作用平凡(恆等映射),則
局部等距同構於乘積
![{\displaystyle V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d2ff7676b06f690dccb2cc153cb4f7b72584de)
其中
是歐氏開集,而每個
是
的積分流形。更甚者,
是
的直積(
是
過某點的極大積分流形)。
若同時假設
測地完備(每點每個方向的測地線皆可無限延伸),則定理不僅局部成立,而是全域成立,且各
本身也是測地完備流形。[12]
伯格分類
1955年,馬塞爾·伯格將不可約(並非局部等同積空間)、非對稱(並非局部地黎曼對稱)、單連通的黎曼流形,可能具有的和樂群,完全分類。伯格分類表如下:
![{\displaystyle \mathrm {Hol} (g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818a662633d9794ff6775c0f60a2111d14c47e89) |
![{\displaystyle \mathrm {dim} (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113fe6d8832e6793a9ef18525fc2ae9c6b9ef6f8) |
流形類型 |
備註
|
正交群![{\displaystyle SO(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8243929248730d44fbb8ee9d267361713332ff) |
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) |
可定向流形 |
—
|
酉群![{\displaystyle U(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9dac86141aa23bec59b25ea2c986580753b6754) |
![{\displaystyle 2n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134afa8ff09fdddd24b06f289e92e3a045092bd1) |
凱勒流形 |
凱勒
|
特殊酉群![{\displaystyle SU(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a32de6314d41905468b6149bf865f35186b06f56) |
![{\displaystyle 2n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134afa8ff09fdddd24b06f289e92e3a045092bd1) |
卡拉比–丘流形 |
里奇平、凱勒
|
辛群![{\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a00b37fb88bcb5053f70e6386aa2119328bd1171) |
![{\displaystyle 4n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d3d982c0a63d59f04a9ea9aecec75fb107f6a3) |
超凱勒流形 |
里奇平、凱勒
|
![{\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82e066a87648fa7a54c1df24a46849305a3f4312) |
![{\displaystyle 4n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42d3d982c0a63d59f04a9ea9aecec75fb107f6a3) |
四元數凱勒流形 |
愛因斯坦
|
例外單李群![{\displaystyle G_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645011b0c6933a02f5f7d84624f78220d747427e) |
![{\displaystyle 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee716ec61382a6b795092c0edd859d12e64cbba8) |
G2流形 |
里奇平
|
旋量群![{\displaystyle \mathrm {Spin} (7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd56ebcb8fc6537e28b258e8a6f83398390df861) |
![{\displaystyle 8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaa997e6ad67716cfaa9a02c4df860bf60a95b5) |
Spin(7)流形 |
里奇平
|
1965年,愛德蒙·博南及Vivian Yoh Kraines同時研究和樂群為
的流形,構造出其平行4形式。
愛德蒙·博南於1966年最早引入和樂群為
或
的流形,他構造出全部平行形式,並證明該些流形皆為里奇平。
伯格原先的表中,未排除
(作為
的子群)。後來,迪米特里·阿列克謝耶夫斯基(Dmitri V. Alekseevsky)一人,與布朗(Brown)、格雷(Gray)二人,分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱,即與凱萊平面
局部等距同構,或局部平坦,故上表不列。上表列出的各可能,現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現,見
流形和
流形。
注意
,故超凱勒流形必為卡拉比-丘,卡拉比-丘流形必為凱勒,而凱勒流形必可定向。
以上看似奇怪的列表(伯格定理),可由西蒙斯(Simons)的證明解釋。另有一個簡單幾何證明,由卡洛斯·奧爾莫斯(Carlos E. Olmos)於2005年給出。[13]第一步要證,若黎曼流形並非局部對稱空間,而約化和樂在切空間上的作用不可約,則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面:上表所列各項,以及兩個額外情況,分別是
(作用於
),以及
(作用於
)。最後,要驗證前者只能作為局部對稱空間(局部同構於的凱萊射影平面)的和樂群,而後者則根本不能作為和樂群出現。
伯格的原分類,尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量,其給出非局部對稱和樂的可能列表為:
和樂群 |
度量符號
|
![{\displaystyle SO(p,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab6609eaa912527e34461522f02d0143988deb1b) |
|
![{\displaystyle U(p,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29543e0116019a26bff3e19ca9c9e82b4f31a9b) |
|
![{\displaystyle SU(p,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4d4c5231d753738fd21eddc387a9d87030e1bf6) |
|
![{\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62dc35482ec506d283bae46390f3005cb4615a8b) |
|
![{\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)\cdot \mathrm {Sp} (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8fdea9dec559a18891e087fcb200287d216f116) |
|
![{\displaystyle SO(n,\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0716ab922c94afd9d702d598a71179a6f5d10ef5) |
|
![{\displaystyle SO(n,\mathbb {H} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c0e5865dfcc50f9ef6716c45b1d1c6ce014eb6) |
|
分裂![{\displaystyle G_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/645011b0c6933a02f5f7d84624f78220d747427e) |
|
![{\displaystyle G_{2}(\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da18a1709a1b7c5c76e1c80be1b450fc1706e202) |
|
![{\displaystyle \mathrm {Spin} (4,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451765ae3ff708a94abe405425d40735e5e43d88) |
|
![{\displaystyle \mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbc77730b45b92e3fea122f034e8d9a73040f72) |
|
![{\displaystyle (*)\ \mathrm {Spin} (5,4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21438dede28899719f1a2268d0a3a35811e0b23b) |
|
![{\displaystyle (*)\ \mathrm {Spin} (9,\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48233061ffb1f7f76e6e22191b2caf4354b55def) |
|
但是,標
的兩種和樂群(分裂
及複化
),如同正定的情況,只能在局部對稱空間出現,故應予刪去。至於複化和樂群
三種,可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為
子群的流形,R. McLean證明其為局部平。[14]
對稱黎曼空間,因為局部與齊性空間
同構,其局部和樂群同構於
,經已分類完畢。
最後,伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射聯絡的流形的可能和樂群,見下節。
特殊和樂及旋量
一些流形具特殊的和樂,該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃(平行旋量即協變導數為零的旋量場),[15]尤其有以下各項命題成立:
,當且僅當
上存在平行的射影純旋量場。
- 若
為旋量流形,則
,當且僅當
具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上,平行純旋量場足以確定由結構群到
的典範歸約。
- 若
是七維旋量流形,則
具有非平凡平行旋量場,當且僅當和樂群是
的子群。
- 若
為八維旋量流形,則
具有非平凡平行旋量場,當且僅當和樂群是
的子群。
么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理論[16]、殆複流形[15]一同研究。
應用
弦論
具特殊和樂的黎曼流形,對弦論緊化很重要。[17]原因是,特殊和樂流形上,存在共變常值(即平行)旋量,於是保一部分超對稱。較重要的緊化是在具
或
和樂的卡拉比–丘流形上,以及
流形上。
機器學習
在機器學習,尤其流形學習方面,曾有人提出,藉計算黎曼流形的和樂,得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構,其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限,無法完全準確計算出和樂群,但利用來自譜圖論的思想(類似向量擴散映射),有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」(英語:Geometric Manifold Component Estimator,簡寫GeoManCEr「探地者」),能給出德拉姆分解的數值近似,並應用於現實數據。[18]
仿射和樂
仿射和樂群(英語:affine holonomy groups),是無撓仿射聯絡的和樂群;其中一些不能作為(偽)黎曼和樂群出現,稱為非度量和樂群(英語:non-metric holonomy groups)。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群,所以離完成分類尚有很遠,但仍可以將不可約的仿射和樂分類。
伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中,發現對於非局部對稱的無撓仿射聯絡而言,和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則(英語:Berger's first criterion)是安布羅斯-辛格定理(即曲率張量生成和樂的李代數,見前節)的後果;而第二準則,來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則,且作用不可約的群,可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。
但伯格的列表,其後證實並未齊全。羅伯特·布萊恩特(1991)和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer(1996)找到未在列表的例子,有時稱為「怪和樂」(exotic holonomies)。努力搜索例子之後,最終由Merkulov和Schwachhöfer(1999年)完成不可約仿射和樂群的分類,而反方向的結果則由布萊恩特(2000年)證明,即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。
觀察到表中的群和埃爾米特對稱空間、四元數凱勒對稱空間之間有聯繫之後,Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確,見於Schwachhöfer(2001)。
設
為有限維複向量空間,
為不可約半單複連通李子群,又設
為極大緊子群。
- 若有不可約埃爾米特對稱空間形如
,則
和
兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群,其中
為
的切表示。
- 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如
,則
為非對稱不可約仿射和樂群,而當
時,
亦然。此時,
的複化切表示是
,而
保
上某個複辛形式。
上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群,例外僅有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2n}\right),\\G_{2}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{7}\right),\\\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{8}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/653fbc5719721a405cb1703963d54388b5e679b3)
利用埃爾米特對稱空間的分類,第一族的複仿射和樂群有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(m,\mathbf {C} )\cdot SL(n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{m}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{16}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot E_{6}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{27}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ea5f5660abd9d2fcd2a1ad94ec6ec829c0200c)
其中
可取平凡群,亦可取為
。
同樣,用四元數凱勒對稱空間的分類,第二族複辛和樂群有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\(Z_{\mathbb {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(2,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbb {C} ^{2}\right),\\\mathrm {Sp} (6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{14}\right),\\SL(6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{3}\mathbb {C} ^{6}\right),\\\mathrm {Spin} (12,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{32}\right),\\E_{7}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{56}\right).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/766a81bbe56d77fb47e8b82cc9df3623b4c296c7)
(第二行中,
必須取為平凡群,除非
,此時可取為
。)
從以上各列表,可以觀察出一個結論,類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面:複和樂表示皆為預齊性向量空間。但是,未知此事實的概念性證明。
不可約實仿射和樂的分類,用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論,結合上表,仔細分析便得。
參見
腳註
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