在數學裏,反變(contravariant,也稱逆變)和共變(covariant,也稱協變)描述一個向量(或更廣義來說,張量)的坐標,在向量空間的基底/坐標系轉換之下,會如何改變。
反變和共變在張量場的演算中不可或缺,是了解狹義相對論、廣義相對論必需的數學基礎。
轉換方式
向量:反變轉換
- 標記法說明:向量
是向量空間
的元素。向量基底
構成了向量空間的一個基底,其座標系統為
。對應這個基底,向量
的分量為
,即
。
(註:
這符號中的上標
不代表平方,而是代表第二個坐標,在較基礎的數學上,常寫作
,但是,在张量分析领域,指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示,以及愛因斯坦求和約定。)
向量空間
有另一個基底
,其座標系統為
。對應這個基底,
有分量
,即
。
對於1...n之間任意整數
,我們知道
和
的關係:
。
使用愛因斯坦求和約定可寫成:
。
余向量:共變轉換
假設對偶空間
有兩個基底
跟
。[1]:289-297
假設
。
則對於
...
之間其中一個特定的整數
,我們知道
和
的關係:
。
或使用愛因斯坦求和約定寫成:
。
向量的共變分量和反變分量
在歐幾里得空間
裏,共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量;對於所有餘向量
,通過下述方程式,向量
和線性泛函
,唯一地確定了餘向量
:
。
逆過來,通過上述方程式,線性泛函
和每一個餘向量,唯一地確定了向量
。由於這向量與餘向量的相互辨認,我們可以提到向量的共變分量和反變分量;也就是說,它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。
給予
的一個基底
,則必存在一個唯一的對偶基底
,滿足
;
其中,
是克羅內克函數。
以這兩種基底,任意向量
可以寫為兩種形式
;
其中,
是向量
對於基底
的反變分量,
是向量
對於基底
的共變分量,
歐幾里得空間
將向量
投影於坐標軸
,可以求得其反變分量
;將向量
投影於坐標曲面的法線
,可以求得其共變分量
。
在歐幾里得空間R3裏,使用內積運算,能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底,其基底向量為
、
、
,就可以計算其對偶基底的基底向量:
;
其中,
是三個基底向量
、
、
所形成的平行六面體的體積。
反過來計算,
;
其中,
是三個基底向量
、
、
所形成的平行六面體的體積 。
雖然
與
並不相互標準正交,它們相互對偶:
。
這樣,任意向量
的反變坐標為
。
類似地,共變坐標為
。
這樣,
可以表達為
,
或者,
。
綜合上述關係式,
。
向量
的共變坐標為
;
其中,
是度規張量。
向量
的反變坐標為
;
其中,
是共軛度規張量。
共變坐標的標號是下標,反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基,或反變基底向量組成的基底是標準正交基,則共變基底與反變基底相互等價。那麼,就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標,所有的標號都可以用下標來標記。
在相對論上的應用
根據相對性原理,一條物理定律在不同的系統,都應該有相同的「形式」。
狹義相對論討論的是閔可夫斯基空間,它是一種平直空間。
参考来源
- ^ Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 (英语)