共变和反变

在数学里，反变（contravariant，也称逆变）和共变（covariant，也称协变）描述一个向量（或更广义来说，张量）的坐标，在向量空间的基底／坐标系转换之下，会如何改变。

反变和共变在张量场的演算中不可或缺，是了解狭义相对论、广义相对论必需的数学基础。

转换方式

向量：反变转换

标记法说明：向量 $\mathbf {v} \,\!$ 是向量空间 $V\,\!$ 的元素。向量基底 $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},...,\mathbf {e} _{n}\,\!$ 构成了向量空间的一个基底，其座标系统为 $x^{1},x^{2},...,x^{n}\,\!$ 。对应这个基底，向量 $\mathbf {v} \,\!$ 的分量为 $v^{1},v^{2},...,v^{n}\,\!$ ，即 $\textstyle \mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}\mathbf {e} _{i}$ 。

（注： $v^{2}\,\!$ 这符号中的上标 $2$ 不代表平方，而是代表第二个坐标，在较基础的数学上，常写作 $v_{2}\,\!$ ，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及爱因斯坦求和约定。）

向量空间 $V$ 有另一个基底 ${\bar {\mathbf {e} }}_{1},...,{\bar {\mathbf {e} }}_{n}\,\!$ ，其座标系统为 ${\bar {x}}^{1},...,{\bar {x}}^{n}\,\!$ 。对应这个基底， $\mathbf {v} \,\!$ 有分量 ${\bar {v}}^{1},{\bar {v}}^{2},...,{\bar {v}}^{n}\,\!$ ，即 $\textstyle \mathbf {v} =\sum _{i}{\bar {v}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}$ 。

对于1...n之间任意整数 $\mu \,\!$ ，我们知道 ${\bar {v}}^{\mu }\,\!$ 和 $v^{1},v^{2},...,v^{n}\,\!$ 的关系：

{\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{1}}}v^{1}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{2}}}v^{2}+...+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{n}}}v^{n}\,\!

。

使用爱因斯坦求和约定可写成：

{\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{i}}}v^{i}\,\!

。

余向量：共变转换

假设对偶空间 $V^{*}$ 有两个基底 ${\mathbf {dx} ^{1},\mathbf {dx} ^{2},...,\mathbf {dx} ^{n}}\,\!$ 跟 $\mathbf {d{\bar {x}}} ^{1},\mathbf {d{\bar {x}}} ^{2},...,\mathbf {d{\bar {x}}} ^{n}\,\!$ 。^[1]^:289-297

假设 $\textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in V^{*},{\boldsymbol {\omega }}=\sum _{i}\mathbf {\eta } _{i}\mathbf {dx} ^{i}=\sum _{j}{\bar {\mathbf {\eta } }}_{j}d{\bar {\mathbf {x} }}^{j}$ 。则对于 $1$ ... $n$ 之间其中一个特定的整数 $\mu \,\!$ ，我们知道 ${\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }\,\!$ 和 $\mathbf {\eta } _{1},\mathbf {\eta } _{2},...,\mathbf {\eta } _{n}\,\!$ 的关系：

{\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }={\frac {\partial x^{1}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{1}+{\frac {\partial x^{2}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{2}+...+{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{n}\,\!

。

或使用爱因斯坦求和约定写成：

{\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{i}\,\!

。

向量的共变分量和反变分量

在欧几里得空间 $V\,\!$ 里，共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得馀向量；对于所有馀向量 $\mathbf {w} \,\!$ ，通过下述方程式，向量 $\mathbf {v} \,\!$ 和线性泛函 $\alpha (\mathbf {w} )\,\!$ ，唯一地确定了馀向量 $\mathbf {w} \,\!$ ：

\alpha (\mathbf {w} )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} \,\!

。

逆过来，通过上述方程式，线性泛函 $\alpha (\mathbf {w} )\,\!$ 和每一个馀向量，唯一地确定了向量 $\mathbf {v} \,\!$ 。由于这向量与馀向量的相互辨认，我们可以提到向量的共变分量和反变分量；也就是说，它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。

给予 $V\,\!$ 的一个基底 ${\mathfrak {f}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\,\!$ ，则必存在一个唯一的对偶基底 ${\mathfrak {f}}^{\sharp }=(Y^{1},Y^{2},\dots ,Y^{n})\,\!$ ，满足

Y^{i}\cdot X_{j}=\delta _{j}^{i}\,\!

；

其中， $\delta _{j}^{i}\,\!$ 是克罗内克函数。

以这两种基底，任意向量 $\mathbf {v} \,\!$ 可以写为两种形式

{\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[{\mathfrak {f}}]X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}]\\&=\sum _{i}v_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\!

；

其中， $v^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!$ 是向量 $\mathbf {v} \,\!$ 对于基底 ${\mathfrak {f}}\,\!$ 的反变分量， $v_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!$ 是向量 $\mathbf {v} \,\!$ 对于基底 ${\mathfrak {f}}\,\!$ 的共变分量，

欧几里得空间

将向量 $\mathbf {a} \,\!$ 投影于坐标轴 $\mathbf {e} ^{i}\,\!$ ，可以求得其反变分量 $a^{i}\,\!$ ；将向量 $\mathbf {a} \,\!$ 投影于坐标曲面的法线 $\mathbf {e} _{i}\,\!$ ，可以求得其共变分量 $a_{i}\,\!$ 。

在欧几里得空间Ｒ³里，使用内积运算，能够从向量求得馀向量。给予一组可能不是标准正交基的基底，其基底向量为 $\mathbf {e} _{1}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{2}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{3}\,\!$ ，就可以计算其对偶基底的基底向量：

\mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\tau }}\,\!

；

其中， $\tau =\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,\!$ 是三个基底向量 $\mathbf {e} _{1}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{2}\,\!$ 、 $\mathbf {e} _{3}\,\!$ 所形成的平行六面体的体积。

反过来计算，

\mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\tau '}}\,\!

；

其中， $\tau '=\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})=1/\tau \,\!$ 是三个基底向量 $\mathbf {e} ^{1}\,\!$ 、 $\mathbf {e} ^{2}\,\!$ 、 $\mathbf {e} ^{3}\,\!$ 所形成的平行六面体的体积。