在數學中,辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中,我們分別稱之為Sp(2n,F)與Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法,通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。
Sp(2n, F)
域F上次數為2n的辛群是由2n階辛矩阵在矩陣乘法下構成的群,記為Sp(2n,F)。由於辛矩陣之行列式恆等於一,此群是SL(2n,F)的子群。
抽象而言,辛群可定義為F上一個2n維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為Sp(V)。
當n=1,有Sp(2,F)=SL(2,F),當n>1時,Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。
通常將域F取為實數域
、複數域
或非阿基米德局部域,如p進數域
。此時辛群Sp(2n,F)是維度等於
的連通代數群。
是單連通的,而
的基本群則同構於
。
的李代數可以刻劃為滿足下列條件的2n階方陣
:
![{\displaystyle \Omega A+A^{T}\Omega =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b610d9a07800f7d3fe2caff80b2b30b2caf9e6)
其中
表示
的轉置矩陣,而
是下述反對稱矩陣
![{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44fd98fb524e01d45e73b5fe2712d9e46d60fc49)
Sp(n)
緊辛群
定義為
(
表四元數)上保持標準埃爾米特形式
![{\displaystyle \langle x,y\rangle ={\bar {x}}_{1}y_{1}+\cdots +{\bar {x}}_{n}y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b487ddd006ad693aa4789523fd77faa07cf20322)
之可逆線性變換。換言之,
即四元數上的酉群
。有時此群也被稱為超酉群。
即單位四元數構成之群,拓撲上同胚於三維球
。
並不同構於之前定義的
。下節將解釋其間的聯繫。
是
維之緊緻、連通、單連通實李群,並滿足
![{\displaystyle Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8ebee6bf4d63f70af4ad227c4d852e1258d1b4)
其李代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成
![{\displaystyle A+A^{\dagger }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e70e2a25a48dc5399c72f60d072b75b28953de6)
其中
是
的共軛轉置(在此取四元數之共軛運算)。李括積由矩陣之交換子給出。
緊辛群
有时称为酉辛群,记为
辛群之間的關係
以上定義之
與
之李代數在複化後給出相同的單李代數。此李代數記作
。此李代數也就是複李群
之李代數,記作
。它有兩個不同的實形式:
- 緊緻形式
,即
之李代數。
- 正規形式
,即
。
辛群之間的關係
|
矩陣
|
李群
|
dim/R
|
dim/C
|
緊緻
|
π1
|
Sp(2n, R)
|
R |
實 |
n(2n + 1) |
– |
否
|
Z
|
Sp(2n, C)
|
C |
複 |
2n(2n + 1) |
n(2n + 1) |
否
|
1
|
Sp(n)
|
H |
實 |
n(2n + 1) |
– |
是
|
1
|
參見