在數學中,一個李群 G 的伴隨表示(adjoint representation)或伴隨作用(adjoint action)是 G 在它自身的李代數上的自然表示。這個表示是群 G 在自身上的共軛作用的線性化形式。
正式定义
設 G 是一個李群,
是它的李代數(我們將其等價於 G 中恒同元素的切空間 TeG)。利用方程
對 g 屬於 G,定義一個映射
![{\displaystyle \Psi :G\to \mathrm {Aut} (G),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e2a8b1382625da42af1376c9d7bce7d8317ff73)
這里
是 G 的自同構群而自同構
定義為
對所有 h 屬於 G。
從而 Ψg 在恒同處的微分是李代數
的一個自同構。我們記這個映射為 Adg:
![{\displaystyle \mathrm {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228fe27d0353bb3dd93855eca337d0c2b528b1ee)
所謂 Adg 是一個李代數自同構是說 Adg 是
的一個保持李括號的線性變換。映射
![{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/116843b5c304c3f590b98585ad17ee9fc6a1ffeb)
將 g 映為 Adg 稱為 G 的伴隨表示(adjoint representation)。這确实是 G 的一個表示因為
是
的一個李子群且如上伴隨映射是李群同態。伴隨表示的維數與群 G 的維數相同。
李代数的伴随表示
我們可以由李群 G 的一個表示通過在恒同處取導數變為它的李代數的表示。取伴隨映射的導數
![{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ca490ada724c898a49bab2b415877947965a04)
給出李代數
的伴隨表示:
![{\displaystyle \mathrm {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0fb50eaf89ced99263845d9815a4586ab3134cf)
這里
是
的李代數,可以與
上的導子代數等同。李代數的伴隨表示與這個代數的結構有基本的聯繫。特別地,我們可以證明
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2c3163e2fc6e4dbfb7b63b1ce6f2af936b47d1)
對所有
成立。詳情請見李代数的伴随表示。
例子
- 如果 G 是一個 n 維阿貝爾群,G 的伴隨表示是n 維平凡表示。
- 如果 G 是一個矩陣李群(即 GL(n,C) 的一個閉子群),則它的李代數是一個以交換子作李括號的 n×n 矩陣代數(即
的子代數)。此時,伴隨映射由 Adg(x) = gxg−1 給出。
- 如果 G 是 SL2(R)(行列式為 1 的 2×2 實矩陣),G 的李代數由跡 0 實 2×2 矩陣組成。這個表示等價於 G 在兩個變量二次型空間上通過線性替換給出的作用。
性质
下表總結了定義中提到的不同映射的性質
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李群同態:
![{\displaystyle \Psi _{gh}=\Psi _{g}\Psi _{h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a06584ea23178fb00ee0979edfc347c6edd072c)
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李群自同態:
![{\displaystyle \Psi _{g}(ab)=\Psi _{g}(a)\Psi _{g}(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8eb08a00f6215529b65bad66337ab6b9d2320aa)
![{\displaystyle (\Psi _{g})^{-1}=\Psi _{g^{-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f729805843aa79d47ae8a90ec12deb941afcd75)
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李群同態:
![{\displaystyle \mathrm {Ad} _{gh}=\mathrm {Ad} _{g}\mathrm {Ad} _{h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364be280d2e4fc7b31422a4ac3655efb4f51c9dc)
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李代數自同態:
線性
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李代數同態:
线性
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e1b8b6ed9c2ebf23cc2720cf4a8845d957ee1c)
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李代數導子:
線性
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G 在伴隨映射下的像記為 AdG。如果 G 連通,則伴隨表示的核與 Ψ 的核相同,就是 G 的中心。從而,如果 G 中心平凡,則連通李群 G 的伴隨表示是忠實的。進一步,如果 G 不連通,伴隨映射的核是 G 的單位分支 G0 的中心化子。由第一同構定理我們有
![{\displaystyle \mathrm {Ad} _{G}\cong G/C_{G}(G_{0}).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1509182dd798e08f963649b4697524c3643ff7cd)
半单李群的根
如果 G 半單,伴随表示的非零权组成一个根系。为了说明这是怎么回事,考虑特例 G=SLn(R)。
我们可取对角矩阵 diag(t1,...,tn) 的群是 G 的极大环面 T。用 T 中元素的共轭作用为
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ff75094b371aec2d042747d1550a73ac362aa89)
从而 T 在 G 的李代数的对角部分上的作用平凡,在非对角元素上有本征向量 titj-1。G 的根是权
diag(t1,...,tn)→titj-1。这是 G=SLn(R) 的根系作为ei−ej 形式的向量集合的标准描述之说明。
变体与类比
伴随表示也能对任何域上的代数群定义。
餘伴随表示(co-adjoint representation)是伴随表示的逆步表示。亚历山大·卡里洛夫(Alexandre Kirillov)观察到任何向量在餘伴随表示中的轨道是一个辛流形。按照表示论中称之为轨道方法的哲学(另见卡里洛夫特征标公式(Kirillov character formula)),一个李群 G 的不可约表示应该以某种方式用其余伴随表示标记。这种关系在幂零李群时最密切。
参考
- Fulton, William; Harris, Joe, Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics 129, New York: Springer-Verlag, 1991, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6
- Hall, Brian C., Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics 222, Springer-Verlag( reprinted by World Publishing Corporation, Beijing), 2004, ISBN 978-7-5062-8297-0