滿足
的點
著藍色。滿足
的點
著紅色。紅色的點形成了開集。紅色和藍色的點的併集是閉集。
在拓撲空間中,閉集是指其補集為開集的集合。在一個拓撲空間內,閉集可以定義為一個包含所有其極限點的集合。在完備度量空間中,一個閉集的極限運算是閉合的。不要混淆於閉流形。
閉集等價的定義
在一個任意的拓撲空間
內,一個集合
是閉集若且唯若它與它的閉包
相同。等價地,一個集合
是閉集若且唯若所有的極限點都是這個集合中的點;也就是,
。
性質
閉集包含其自身的邊界。換句話說,這個概念基於「外部」的概念,如果你在一個閉集的外部,你稍微「抖動」一下仍在這個集合的外部。注意,這個概念在邊界為空的時候還是真的,比如在有理數的度量空間中,對於平方小於2的數的集合。
任意多個閉集的交集是閉集;有限多個閉集的併集是閉集。特別的,空集和全空間是閉集。
交集的性質也被用來定義空間
上的集合
的閉包,即
的閉合子集中最小的
的父集。特別的,
的閉包可以通過所有的其閉合父集的交集來構造。
例子
- 區間
在實數上是閉集。(方括號、圓括號的集合符號,參見區間文中的解釋。)
- 單位區間
在實數
的度量空間中是閉集。而集合
在有理數
上是閉集,但在實數
上並不是閉集。
- 有些集合既不是開集也不是閉集,如實數
上的半開區間
。
- 有些集合既是開集也是閉集叫做閉開集,最簡單的例子就是空集合以及拓樸空間本身。
- 半區間
在實數
上是閉集。
- 康托爾集是一個獨特的閉集,它包含所有邊界點,並且沒有一處是稠密的。
- 僅包含一個點的集合(顯然它是有限集)在豪斯多夫空間內是閉集。
- 如果
和
是拓撲空間,而
是一個從
到
的連續函數當且僅當
中任意的閉集
的原像
在
中也是閉集。
細說
上述閉集的定義是根據開集而來得,這一概念在拓撲空間上是有意義的,同時也適用於含有拓撲結構的其他空間,如度量空間、可微流形、一致空間和規格空間。
另一種對閉集的定義是通過序列。拓撲空間
上的子集
是閉合的,若且唯若
的元素組成的任意序列的任意極限仍然屬於
。這一表述的價值在於,它可以用在收斂空間的定義中,而收斂空間比拓撲空間更普通。注意,這一表述仍然依賴背景空間
,因為序列是否在
中收斂依賴於
中的點。
集合是否是閉合的通常取決於它所在的空間。然而在某種意義上,緊緻的豪斯多夫空間是「絕對閉合的」。精確地說,將緊緻的豪斯多夫空間
放在任意豪斯多夫空間
中,
總是
的一個閉合子集;這和「背景空間」沒有關係。實際上,這個性質刻畫了緊緻的豪斯多夫空間。
參見