极限点

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极限点(英語:Limit point)在数学中是指可以被集合S中的点[註 1]随意逼近的點。[註 2]

这个概念有益的推广了极限的概念,并且是諸如闭集和拓扑閉包等概念的基础。实际上,一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点,而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。[註 3]

定义

拓扑空间 ( 其拓撲為 ) 的子集且 ,若所有 开集也包含至少一个 內的非x的点,即

极限点(注意到 不一定属于 )。由 內所有極限點所組成的集合稱為 導集,標記為

T1空間裡,上述定義和要求 的每個鄰域皆包含無限多個 的點是等價的。[註 4]

另外,若X序列空間,則可稱xXS的極限點,若且唯若存在一個由S \ {x}的點組成的ω序列,其極限x;這也是「極限點」此一名稱的由來。

特殊类型的極限點

如果包含x的所有开集都包含无限多个S的点,则x是特殊类型极限点,称为Sω会聚点ω‐accumulation point)。

如果包含的所有開集都包含不可数多個的點,則是特殊类型的极限点,稱為缩合点condensation point)。

ω会聚点

度量空间中,ω会聚点与普通的极限点定义等价。在拓扑空间中,两者概念不再等价。对于非强拓扑空间,一个所有ω会聚点都属于本身的集合不一定是闭集,但一个所有极限点都属于本身(导集包含于自身)的集合必爲闭集。

度量空间的聚集点

在带有度量函數  的度量空间 且有 ,若對所有 ,存在 值使得  ,也就是

這樣稱  是   的聚集点(cluster point)或会聚点(accumulation point)。直觀上意為, 可以被 裡的點(以度量  的意義上)無限制地逼近。

應用上, 定義域的聚集點也是函數極限能在 上有定義的前提條件。

性质

  • 关于极限点的性质:的极限点,当且仅当它属于 \ {}的闭包
    • 证明:根据闭包定义,某点属于某集合的闭包,当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有:x的极限点,当且仅当所有的邻域都包含一个非的点属于S,当且仅当所有的邻域含有一个点属于\ {x},当且仅当属于的闭包。
  • 的闭包具有下列性质:的闭包等于和其導集的并集
    • 证明:(从左到右)设属于的闭包。若属于S,命题成立。若,则所有的邻域都含有一个非的点属于;也就是说,x的极限点,。(从右到左)设属于S,则明显地所有的邻域和相交,所以属于的闭包。若属于L(S),则所有的邻域都含有一个非的点属于S,所以也属于的闭包。得证。
  • 上述结论的推论给出了闭集的性质:集合是闭集,当且仅当它含有所有它的极限点。
    • 证明1S是闭集,当且仅当等于其闭包,当且仅当=∪ L(S),当且仅当L(S)包含于S
    • 证明2:设是闭集,的极限点。则必须属于S,否则的补集为的开邻域,和不相交。相反,设包含所有它的极限点,需要证明的补集是开集。设属于的补集。根据假设,x不是极限点,则存在的开邻域U不相交,则U的补集中,则的补集是开集。
  • 孤点不是任何集合的极限点。
    • 证明:若是孤点,则{x}是只含有的邻域。
  • 空间离散空间,当且仅当的子集都没有极限点。
    • 证明:若是离散空间,则所有点都是孤点,不能是任何集合的极限点。相反,若不是离散空间,则单元素集合{x}不是开集。那么,所有{x}的邻域都含有点yx,则的极限点。
  • 若空间密着拓扑,且的多于一个元素的子集,则的所有元素都是的极限点。若单元素集合,则所有\的点仍然是的极限点。
    • 说明:只要\ {x}非空,它的闭包就是X;只有当是空集或的唯一元素时,它的闭包才是空集。

注释

  1. ^ 不包含极限点本身
  2. ^ 非正式的说法是在拓扑空间 X 中的一个集合 S 的极限点x可以被除x以外的集合内任意点逼近
  3. ^ 一个有关的概念是序列的聚集点(cluster point)或会聚点(accumulation point)。
  4. ^ 在定义中使用“开邻域”的形式来证明一个点是极限点,使用“一般邻域”的形式来得到一个已知极限点的性质,這樣通常會比較輕鬆。

引用