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開集

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數學上,特別是拓樸學中,開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合

通常微積分的課程中,會藉助歐式空間距離去描述數列極限;直觀上,當 越來越大時數列 要多靠近有多靠近的時候,就說 是數列 的極限,但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」,開集就是來自於" 點附近"這樣的直觀概念。類似的,函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。

滿足的點著藍色。滿足的點著紅色。紅色的點形成了開集。紅色和藍色的點的聯集是閉集。

定義

直觀上,於「開集」或說「不含邊界的集合」中任取一點,都可以找到一個以此點為圓心,且半徑足夠小到落在「開集」裡的圓盤(但圓盤的邊界可能不在開集內)。開集的嚴謹定義由此而來。

歐式空間

所謂的維歐式空間,指的是囊括所有實數n-元組的集合(記為)。 為了定義開集,可以推廣畢氏定理,將 中任兩點歐式距離定義為:

然後定義所謂的(維)開球(open ball):

也就是直觀上,一個以為球心,為半徑但不包含表面的球體

這樣就可以作如下的定義:

定義 — 
,且對所有 ,存在一個 ,使,那麼就說子集中的一個開集

也就是直觀上,取開集 的任意點 都有一個以 為球心的開球完全包含於

賦距空間

只要把上節的歐式距離改成一般的度量,開集的概念很容易推廣到賦距空間中。

以下把 中的開球(open ball)定義成:

這樣就可以作如下的定義:

定義 — 
的子集,且對所有 ,存在 使 ,則稱 的一個開集

這的確推廣了歐式空間部分的定義,因為歐式距離 本身就組成了一個賦距空間

賦距空間的開集還會有以下的性質:

定理 — 
為賦距空間,則

(1) 也是 的開集。

(2) 若 都是 的開集,則 也是 的開集。

(3) 的一個子集族),若所有 都是 的開集,則 也是 的開集。(也就是直觀上,任意數量開集的聯集也是開集)

證明
(1) 對每個都有,所以是自己的一個開集;另外對所有都有(直觀上來說沒有點可以當開球的球心),所以邏輯上不用驗證是否有開球包含於,就可以得到滿足開集的定義 (直觀上來說,前提為假的話,不論結論是否為真,「前提=>結論」都是對的)。


(2) 若,依據假設存在 使得 ,這樣取 的話,就有,是故也是 的開集。


(3) 若,依照聯集的性質,存在 使得 ;但根據假設, 都是 的開集,換句話說,存在 使 ,那因為 ,所以有 ,是故 也是 的開集。

事實上這些性質這就是拓撲空間定義的動機。

拓撲空間

開集是拓撲空間定義的基石;也就是從任意母集合 出發,再選取 的特定的子集族 ,規定 中的集合就是開集,這樣的子集族 被叫做 上的拓撲

定義 — 
為集合,若 滿足

(1)

(2) 若

(3) ,則 。(也就是說,任意數量開集的聯集也是開集)

則稱 上的拓撲,並稱 為一拓撲空間。任何 被稱為開集

根據上一節賦距空間的性質,取 為所有 的開集所構成的子集族,則 也是一拓撲空間。

例子

  • 度量空間中,以點為中心,為半徑的球體為開集,任意的開集包含以為中心,充分小的為半徑的球體
  • 流形中的開集為子流形

用處

開集在拓撲學分支中有著基礎的重要性。當定義拓撲空間和其他拓撲結構(處理鄰近性收斂此類概念,比如度量空間均勻空間)時,都會用到開集的概念。

拓撲空間的每個子集都包含至少一個(可能為空)開集;最大的這種開集被叫做內部。它可以通過取包含在中的所有開集的聯集來構造。

給定拓撲空間以及函數,如果在中的所有開集的前像是在中的開集,則連續的,這是實函數上的連續定義的推廣,時這與實函數的連續定義等價。如果在中的所有開集的中的開集,映射被叫做開映射

實直線上的開集都是可數個不相交開區間的聯集。

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注釋