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开集

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数学上,特别是拓朴学中,开集是对实数开区间进行推广之后得到的抽象集合

通常微积分的课程中,会借助欧式空间距离去描述数列极限;直观上,当 越来越大时数列 要多靠近有多靠近的时候,就说 是数列 的极限,但这需要距离去严谨的描述“靠近程度”,开集就是来自于" 点附近"这样的直观概念。类似的,函数极限也需要距离的概念去严谨定义。

满足的点着蓝色。满足的点着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

定义

直观上,于“开集”或说“不含边界的集合”中任取一点,都可以找到一个以此点为圆心,且半径足够小到落在“开集”里的圆盘(但圆盘的边界可能不在开集内)。开集的严谨定义由此而来。

欧式空间

所谓的维欧式空间,指的是囊括所有实数n-元组的集合(记为)。 为了定义开集,可以推广勾股定理,将 中任两点欧式距离定义为:

然后定义所谓的(维)开球(open ball):

也就是直观上,一个以为球心,为半径但不包含表面的球体

这样就可以作如下的定义:

定义 — 
,且对所有 ,存在一个 ,使,那么就说子集中的一个开集

也就是直观上,取开集 的任意点 都有一个以 为球心的开球完全包含于

赋距空间

只要把上节的欧式距离改成一般的度量,开集的概念很容易推广到赋距空间中。

以下把 中的开球(open ball)定义成:

这样就可以作如下的定义:

定义 — 
的子集,且对所有 ,存在 使 ,则称 的一个开集

这的确推广了欧式空间部分的定义,因为欧式距离 本身就组成了一个赋距空间

赋距空间的开集还会有以下的性质:

定理 — 
为赋距空间,则

(1) 也是 的开集。

(2) 若 都是 的开集,则 也是 的开集。

(3) 的一个子集族),若所有 都是 的开集,则 也是 的开集。(也就是直观上,任意数量开集的并集也是开集)

证明
(1) 对每个都有,所以是自己的一个开集;另外对所有都有(直观上来说没有点可以当开球的球心),所以逻辑上不用验证是否有开球包含于,就可以得到满足开集的定义 (直观上来说,前提为假的话,不论结论是否为真,“前提=>结论”都是对的)。


(2) 若,依据假设存在 使得 ,这样取 的话,就有,是故也是 的开集。


(3) 若,依照并集的性质,存在 使得 ;但根据假设, 都是 的开集,换句话说,存在 使 ,那因为 ,所以有 ,是故 也是 的开集。

事实上这些性质这就是拓扑空间定义的动机。

拓扑空间

开集是拓扑空间定义的基石;也就是从任意母集合 出发,再选取 的特定的子集族 ,规定 中的集合就是开集,这样的子集族 被叫做 上的拓扑

定义 — 
为集合,若 满足

(1)

(2) 若

(3) ,则 。(也就是说,任意数量开集的并集也是开集)

则称 上的拓扑,并称 为一拓扑空间。任何 被称为开集

根据上一节赋距空间的性质,取 为所有 的开集所构成的子集族,则 也是一拓扑空间。

例子

  • 度量空间中,以点为中心,为半径的球体为开集,任意的开集包含以为中心,充分小的为半径的球体
  • 流形中的开集为子流形

用处

开集在拓扑学分支中有着基础的重要性。当定义拓扑空间和其他拓扑结构(处理邻近性收敛此类概念,比如度量空间一致空间)时,都会用到开集的概念。

拓扑空间的每个子集都包含至少一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做内部。它可以通过取包含在中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间以及函数,如果在中的所有开集的前像是在中的开集,则连续的,这是实函数上的连续定义的推广,时这与实函数的连续定义等价。如果在中的所有开集的中的开集,映射被叫做开映射

实直线上的开集都是可数个不相交开区间的并集。

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注释