在數學,特別是點集拓撲學中,拓撲空間的子集
的導來集(導出集合)是
的所有極限點的集合。它通常記為
。
這個概念是格奧爾格·康托爾在1872年引入的,他開發集合論很大程度上就是為了研究在實直線上的導出集合。
導來集公理
導來集是拓撲學的基礎概念之一,可以用來定義拓撲空間。
給定集合
,考慮一個定義在
的冪集
上的運算
,若
滿足以下導來集公理,則稱
為導集運算:
- D1:
![{\displaystyle d(\emptyset )=\emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94424ad25632b19d1b7d03eb60c4ce9b2459125f)
- D2:
![{\displaystyle d(d(A))\subseteq d(A)\cup A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df1c5d289971d5a9ee564a0692caad1868fae33)
- D3:
![{\displaystyle \forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f5b034eb8c94fbbd8c9082b91d74704cd9598b)
- D4:
![{\displaystyle d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50c13ec81a57fdae7c78605caebbb6329568dc2c)
稱為
的導來集。
從導來集出發可以定義各種拓撲的基礎概念:
- 閉集:
的子集
是閉集,若且唯若
。(從此處可以看到和閉集公理的等價性,從而可以等價地定義拓撲空間。)
- 同胚:拓撲空間
、
同胚,若且唯若存在對射
,使得
。
相關概念
- 聚點
中的點稱為
的聚點。
性質
,若
,
,
。則稱
和
是分離的。(注意:
不一定為
)。
- 集合
被定義為完美的,如果
。等價地說,完美集合是沒有孤點的閉集。完美集合又稱為完備集合。
- Cantor-Bendixson定理聲稱任何波蘭空間都可以寫為可數集合和完美集合的聯集。因為任何波蘭空間的
子集都再次是波蘭空間,這個定理還證明了任何波蘭空間的
子集都是可數集合和完美集合的聯集。
- 拓撲空間
是T1 空間,若且唯若
。
引用
參見