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導集

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數學,特別是點集拓撲學中,拓撲空間的子集導集導出集合)是的所有極限點的集合。它通常記為

這個概念是格奧爾格·康托爾在1872年引入的,他開發集合論很大程度上就是為了研究在實直線上的導出集合。

導集公理

導集是拓撲學的基礎概念之一,可以用來定義拓撲空間。 給定集合,考慮一個定義在冪集上的運算,若滿足以下導集公理,則稱導集運算

  • D1
  • D2
  • D3
  • D4

稱為導來集

從導集出發可以定義各種拓撲的基礎概念:

  • 閉集的子集是閉集,當且僅當。(從此處可以看到和閉集公理的等價性,從而可以等價地定義拓撲空間。)
  • 同胚:拓撲空間同胚,當且僅當存在雙射,使得

相關概念

聚點
中的點稱為聚點

性質

  • ,若。則稱分離的。(注意:不一定為)。
  • 集合被定義為完美的,如果。等價地說,完美集合是沒有孤點閉集。完美集合又稱為完備集合。
  • Cantor-Bendixson定理聲稱任何波蘭空間都可以寫為可數集合和完美集合的併集。因為任何波蘭空間的子集都再次是波蘭空間,這個定理還證明了任何波蘭空間的子集都是可數集合和完美集合的併集。
  • 拓撲空間T1 空間,當且僅當

引用

參見