定義中的集合在數學的多複變函數論中,全純域是在下述意義下為極大的區域:在其上存在一個全純函數,使得不能延拓至更大的區域上。
正式而言,在n維複空間
中的開集
稱為全純域,如果不存在非空開集
和
,其中
是連通的,
,以及
,使得對在
上的每個全純函數
,存在一個在
上的全純函數
,在
上有
。
當n = 1時,每個開集都是全純域。但是,當n ≥ 2時,哈托格斯引理指出存在不是全純域的區域。
等價條件
對一個區域
以下條件等價:
是全純域。
是全純凸的。
是偽凸的。
是萊維凸——對每個解析緊曲面列
,使得
及
對某集合
,我們有
(
不能用一個解析曲面列「從裏面觸碰」。)
有局部萊維性質——對每個點
,存在
的鄰域
,及在
上全純的
,使得
不能延拓到
的任何鄰域上。
其中關係
是標準結果。(
見岡引理。)主要的困難在證明
,即從只是局部定義的不可延拓函數,構造一個不可延拓的全局全純函數。這個問題稱為萊維問題,以Eugenio Elia Levi命名。最先解出問題的是岡潔,之後是拉爾斯·霍爾曼德爾,用的方法包括泛函分析和偏微分方程(
問題的一個結果)。
性質
- 若
是全純域,則其交
也是全純域。
- 若
是全純域的上升列,則其併
也是全純域。(見本克-施泰因定理)
- 兩個全純域
的積
是全純域。
- 第一庫贊問題在全純域內可解;若再加上一些拓撲假設,第二庫贊問題也可解。
參見
參考
- Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
- Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992