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全純域

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定義中的集合

在數學的多複變函數論中,全純域是在下述意義下為極大的區域:在其上存在一個全純函數,使得不能延拓至更大的區域上。

正式而言,在n維複空間中的開集稱為全純域,如果不存在非空開集,其中連通的, ,以及,使得對在上的每個全純函數,存在一個在上的全純函數,在上有

n = 1時,每個開集都是全純域。但是,當n ≥ 2時,哈托格斯引理英語Hartogs lemma指出存在不是全純域的區域。

等價條件

對一個區域以下條件等價:

  1. 是全純域。
  2. 全純凸英語holomorphically convex的。
  3. 偽凸英語pseudoconvex的。
  4. 萊維凸——對每個解析緊曲面列,使得對某集合,我們有 不能用一個解析曲面列「從裏面觸碰」。)
  5. 局部萊維性質——對每個點,存在的鄰域,及在上全純的,使得不能延拓到的任何鄰域上。

其中關係是標準結果。(岡引理。)主要的困難在證明,即從只是局部定義的不可延拓函數,構造一個不可延拓的全局全純函數。這個問題稱為萊維問題英語Levi problem,以Eugenio Elia Levi英語Eugenio Elia Levi命名。最先解出問題的是岡潔,之後是拉爾斯·霍爾曼德爾,用的方法包括泛函分析和偏微分方程(問題的一個結果)。

性質

  • 是全純域,則其交也是全純域。
  • 是全純域的上升列,則其併也是全純域。(見本克-施泰因定理英語Behnke-Stein theorem
  • 兩個全純域的積是全純域。
  • 第一庫贊問題英語Cousin problems在全純域內可解;若再加上一些拓撲假設,第二庫贊問題也可解。

參見

參考

  • Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
  • Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992