定义中的集合在数学的多复变函数论中,全纯域是在下述意义下为极大的区域:在其上存在一个全纯函数,使得不能延拓至更大的区域上。
正式而言,在n维复空间
中的开集
称为全纯域,如果不存在非空开集
和
,其中
是连通的,
,以及
,使得对在
上的每个全纯函数
,存在一个在
上的全纯函数
,在
上有
。
当n = 1时,每个开集都是全纯域。但是,当n ≥ 2时,哈托格斯引理指出存在不是全纯域的区域。
等价条件
对一个区域
以下条件等价:
是全纯域。
是全纯凸的。
是伪凸的。
是莱维凸——对每个解析紧曲面列
,使得
及
对某集合
,我们有
(
不能用一个解析曲面列“从里面触碰”。)
有局部莱维性质——对每个点
,存在
的邻域
,及在
上全纯的
,使得
不能延拓到
的任何邻域上。
其中关系
是标准结果。(
见冈引理。)主要的困难在证明
,即从只是局部定义的不可延拓函数,构造一个不可延拓的全局全纯函数。这个问题称为莱维问题,以Eugenio Elia Levi命名。最先解出问题的是冈洁,之后是拉尔斯·霍尔曼德尔,用的方法包括泛函分析和偏微分方程(
问题的一个结果)。
性质
- 若
是全纯域,则其交
也是全纯域。
- 若
是全纯域的上升列,则其并
也是全纯域。(见本克-施泰因定理)
- 两个全纯域
的积
是全纯域。
- 第一库赞问题在全纯域内可解;若再加上一些拓扑假设,第二库赞问题也可解。
参见
参考
- Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
- Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992