全纯域

定义中的集合

在数学的多复变函数论中，全纯域是在下述意义下为极大的区域：在其上存在一个全纯函数，使得不能延拓至更大的区域上。

正式而言，在n维复空间${\mathbb {C} }^{n}$中的开集$\Omega$称为全纯域，如果不存在非空开集$U\subset \Omega$和$V\subset {\mathbb {C} }^{n}$，其中$V$是连通的， $V\not \subset \Omega$，以及$U\subset \Omega \cap V$，使得对在$\Omega$上的每个全纯函数$f$，存在一个在$V$上的全纯函数$g$，在$U$上有$f=g$。

当n = 1时，每个开集都是全纯域。但是，当n ≥ 2时，哈托格斯引理指出存在不是全纯域的区域。

等价条件

对一个区域$\Omega$以下条件等价：

1. $\Omega$是全纯域。
2. $\Omega$是全纯凸的。
3. $\Omega$是伪凸的。
4. $\Omega$是莱维凸——对每个解析紧曲面列$S_{n}\subseteq \Omega$，使得$S_{n}\rightarrow S$及$\partial S_{n}\rightarrow \Gamma$对某集合$\Gamma$，我们有$S\subseteq \Omega$（$\partial \Omega$ 不能用一个解析曲面列“从里面触碰”。）
5. $\Omega$有局部莱维性质——对每个点$x\in \partial \Omega$，存在$x$的邻域$U$，及在$U\cap \Omega$上全纯的$f$，使得$f$不能延拓到$x$的任何邻域上。

其中关系$1\Leftrightarrow 2,3\Leftrightarrow 4,1\Rightarrow 4,3\Rightarrow 5$是标准结果。（$1\Rightarrow 3$见冈引理。）主要的困难在证明$5\Rightarrow 1$，即从只是局部定义的不可延拓函数，构造一个不可延拓的全局全纯函数。这个问题称为莱维问题，以Eugenio Elia Levi命名。最先解出问题的是冈洁，之后是拉尔斯·霍尔曼德尔，用的方法包括泛函分析和偏微分方程（${\bar {\partial }}$问题的一个结果）。

性质

• 若$\Omega _{1},\dots ,\Omega _{n}$是全纯域，则其交$\Omega =\bigcap _{j=1}^{n}\Omega _{j}$也是全纯域。
• 若$\Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \dots$是全纯域的上升列，则其并$\Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}$也是全纯域。（见本克－施泰因定理）
• 两个全纯域$\Omega _{1},\Omega _{2}$的积$\Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}$是全纯域。
• 第一库赞问题在全纯域内可解；若再加上一些拓扑假设，第二库赞问题也可解。

参见

• 本克－施泰因定理
• 莱维伪凸
• 施泰因流形

参考

• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis, AMS, 1992