在隨機分析中,伊藤引理(Ito's lemma)是一條非常重要的性質。發現者為日本數學家伊藤清,他指出了對於一個隨機過程的函數作微分的規則。
伊藤引理較早版本
第一引理
對於布朗運動
和二次可導函數
,以下等式成立:
![{\displaystyle df(W_{t})=f'(W_{t})dW_{t}+{\frac {1}{2}}f''(W_{t})dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cc4193962cb176adba3e04f300558c89e8a395)
其中過程:
![{\displaystyle dtdt=0,dtdW_{t}=dW_{t}dt=0,dW_{t}dW_{t}=dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4ed1e158f83f0d7319b535a0dc260cf43cb34a)
其主要可通過對多項式環到形式冪級數的拓展,例如:
![{\displaystyle de^{W_{t}^{2}}=2W_{t}e^{W_{t}^{2}}dW_{t}+(e^{W_{t}^{2}}+2W_{t}^{2}e^{W_{t}^{2}})dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d75f0cea976d41729302f95e82d22dcae7688d5)
第二引理
對於伊藤過程
和二次可導函數
,以下等式成立
![{\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}dX_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01bec8817aedf61165b4ab9804c8932a82538ddd)
第三引理
定義伊藤過程
為滿足下列隨機微分方程的隨機過程
![{\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f787280cb2bb1a638eebb5f1d3d526c4a833b409)
對於伊藤過程
和二次可導函數
,以下等式成立:
![{\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55698550660e50f5a84f3ea990f5ac4eb9650732)
類似地,定義多維伊藤過程
使得
![{\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c305caadbf09c4a41503eabecea59eb6ee4b16f)
其中
為n維向量,
為n階方塊矩陣;有如下等式:
![{\displaystyle {\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a568a6c3418f7a4b4681b7c2bcd65790025353)
其中,
是f關於X的梯度,HX f 是f關於X的黑塞矩陣,Tr是跡的符號。
連續半鞅
![{\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686f8f42020a7eb233b6b693ae461a5f685cfb3f)
不連續半鞅
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})=&f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&{}+\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7430c78ef3a38d4204ca37f66561e60271d44ad5)
泊松過程
我們也可以定義非連續隨機過程的函數。
定義跳躍強度h,根據跳躍的泊松過程模型,在區間
上出現一次跳躍的概率是
加上
的高階無窮小量。h可以是常數、顯含時間的確定性函數,或者是隨機過程。在區間
上沒有跳躍的概率稱為生存概率
,其變化是:
![{\displaystyle dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0594c08974cf3b0d2a22023e38680c06451a814e)
因此生存概率為:
![{\displaystyle p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4f8945abf1c02b9b00f88e6591a46163171323)
定義非連續隨機過程
,並把
記為從左側到達t時S的值,記
是一次跳躍導致
的非無窮小變化。有:
![{\displaystyle d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99caa830caeb6c64df8adca8442dbcf0930535bc)
是跳躍幅度z的概率分布,跳躍幅度的期望值是:
![{\displaystyle E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9810f5bac71e8426f2ce24e1fc3e1d464c6b291f)
定義補償過程和鞅
:
![{\displaystyle dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe5545e0a9fdaa6d337f4a86f8508a159f5635e)
因此跳躍的非無窮小變化,也就是隨機過程的跳躍部分可以寫為:
![{\displaystyle d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)dt+dJ_{S}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d2d3752f537c0c68f3c79d960794426aca0517)
因此如果隨機過程
同時包含漂移、擴散、跳躍三部分,可以寫為:
![{\displaystyle dS(t)=\mu dt+\sigma dW(t)+d_{j}S(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0873d46c25d46f5aa7c02c08d290186ba8da8c5)
考慮其函數
。
跳躍
的幅度,會導致
跳躍
幅度。
取決於g的跳躍分布
,有可能依賴於跳躍前的函數值
,函數微分dg以及跳躍前的自變量值
。
的跳躍部分是:
![{\displaystyle {\begin{aligned}g(t)-g(t^{-})&=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31cb59cb508213f5b1ebbd4b25510aa4f450f4cf)
函數
的伊藤引理是:
![{\displaystyle {\begin{aligned}dg(t)&=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b557f8e7279aa1746ef94a4a13f9c6310b6b658)
可以看到,漂移-擴散過程與跳躍過程之和的伊藤引理,恰恰是各自部分伊藤引理的和。
應用例子
布萊克-舒爾茲模型
伊藤引理可以用於推導布萊克-舒爾茲模型。假設一支股票的價格服從幾何布朗運動
,且其期權的價格是股票價格和時間的函數
。根據伊藤引理,有
![{\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu S{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+\sigma S{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dW}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8d3f1fb9330bdfaebab02ff5077274efb5eb59)
整理可得
![{\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5869088839482fd457b0927c38ca44e2af37dc)
式中
項表明期權價格的波動等於持有
單位股票時的波動。在這個對應下,現金的部分應該以無風險利率
增長,即
![{\displaystyle df=r\left(f-S{\frac {\partial f}{\partial S}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d1f6a83b4d4af05c0412eaa1f3c4e1e0dc0682)
比較兩式
項的係數,可得
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb452e255dc613a8f597fc22e78ec469a09a544)
參看
參考資料
- Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
- PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
- Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy