在随机分析中,伊藤引理(Ito's lemma)是一条非常重要的性质。发现者为日本数学家伊藤清,他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。
伊藤引理较早版本
第一引理
对于布朗运动
和二次可导函数
,以下等式成立:
![{\displaystyle df(W_{t})=f'(W_{t})dW_{t}+{\frac {1}{2}}f''(W_{t})dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1cc4193962cb176adba3e04f300558c89e8a395)
其中过程:
![{\displaystyle dtdt=0,dtdW_{t}=dW_{t}dt=0,dW_{t}dW_{t}=dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4ed1e158f83f0d7319b535a0dc260cf43cb34a)
其主要可通过对多项式环到形式幂级数的拓展,例如:
![{\displaystyle de^{W_{t}^{2}}=2W_{t}e^{W_{t}^{2}}dW_{t}+(e^{W_{t}^{2}}+2W_{t}^{2}e^{W_{t}^{2}})dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d75f0cea976d41729302f95e82d22dcae7688d5)
第二引理
对于伊藤过程
和二次可导函数
,以下等式成立
![{\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}dX_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01bec8817aedf61165b4ab9804c8932a82538ddd)
第三引理
定义伊藤过程
为满足下列随机微分方程的随机过程
![{\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f787280cb2bb1a638eebb5f1d3d526c4a833b409)
对于伊藤过程
和二次可导函数
,以下等式成立:
![{\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55698550660e50f5a84f3ea990f5ac4eb9650732)
类似地,定义多维伊藤过程
使得
![{\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c305caadbf09c4a41503eabecea59eb6ee4b16f)
其中
为n维向量,
为n阶方块矩阵;有如下等式:
![{\displaystyle {\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a568a6c3418f7a4b4681b7c2bcd65790025353)
其中,
是f关于X的梯度,HX f 是f关于X的黑塞矩阵,Tr是迹的符号。
[需要定义]
连续半鞅
![{\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686f8f42020a7eb233b6b693ae461a5f685cfb3f)
不连续半鞅
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})=&f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&{}+\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7430c78ef3a38d4204ca37f66561e60271d44ad5)
泊松过程
我们也可以定义非连续随机过程的函数。
定义跳跃强度h,根据跳跃的泊松过程模型,在区间
上出现一次跳跃的概率是
加上
的高阶无穷小量。h可以是常数、显含时间的确定性函数,或者是随机过程。在区间
上没有跳跃的概率称为生存概率
,其变化是:
![{\displaystyle dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0594c08974cf3b0d2a22023e38680c06451a814e)
因此生存概率为:
![{\displaystyle p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4f8945abf1c02b9b00f88e6591a46163171323)
定义非连续随机过程
,并把
记为从左侧到达t时S的值,记
是一次跳跃导致
的非无穷小变化。有:
![{\displaystyle d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99caa830caeb6c64df8adca8442dbcf0930535bc)
是跳跃幅度z的概率分布,跳跃幅度的期望值是:
![{\displaystyle E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9810f5bac71e8426f2ce24e1fc3e1d464c6b291f)
定义补偿过程和鞅
:
![{\displaystyle dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)\,dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe5545e0a9fdaa6d337f4a86f8508a159f5635e)
因此跳跃的非无穷小变化,也就是随机过程的跳跃部分可以写为:
![{\displaystyle d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)dt+dJ_{S}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72d2d3752f537c0c68f3c79d960794426aca0517)
因此如果随机过程
同时包含漂移、扩散、跳跃三部分,可以写为:
![{\displaystyle dS(t)=\mu dt+\sigma dW(t)+d_{j}S(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0873d46c25d46f5aa7c02c08d290186ba8da8c5)
考虑其函数
。
跳跃
的幅度,会导致
跳跃
幅度。
取决于g的跳跃分布
,有可能依赖于跳跃前的函数值
,函数微分dg以及跳跃前的自变量值
。
的跳跃部分是:
![{\displaystyle {\begin{aligned}g(t)-g(t^{-})&=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31cb59cb508213f5b1ebbd4b25510aa4f450f4cf)
函数
的伊藤引理是:
![{\displaystyle {\begin{aligned}dg(t)&=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b557f8e7279aa1746ef94a4a13f9c6310b6b658)
可以看到,漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理,恰恰是各自部分伊藤引理的和。
应用例子
布莱克-舒尔兹模型
伊藤引理可以用于推导布莱克-舒尔兹模型。假设一支股票的价格服从几何布朗运动
,且其期权的价格是股票价格和时间的函数
。根据伊藤引理,有
![{\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu S{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+\sigma S{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dW}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8d3f1fb9330bdfaebab02ff5077274efb5eb59)
整理可得
![{\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5869088839482fd457b0927c38ca44e2af37dc)
式中
项表明期权价格的波动等于持有
单位股票时的波动。在这个对应下,现金的部分应该以无风险利率
增长,即
![{\displaystyle df=r\left(f-S{\frac {\partial f}{\partial S}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d1f6a83b4d4af05c0412eaa1f3c4e1e0dc0682)
比较两式
项的系数,可得
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb452e255dc613a8f597fc22e78ec469a09a544)
参看
参考资料
- Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
- PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
- Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy