狭义相对论
在狭义相对论中,微积分、矩阵为其所用到的主要数学工具,配合闵可夫斯基时空的转换以及劳伦兹不变量的使用,粗略地描述了时、空的性质。当s'坐标系在s坐标系沿x轴作等速v运动时,其转换以以下方程表示:
![{\displaystyle x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b33fdafcdf9ea944b7a892a73ef79c4056d9800)
![{\displaystyle y'=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6239f12a70a7f715303934acf9dbae208fceb80)
![{\displaystyle z'=z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bfd939a15c0857a6b1df928f061d0e8973c342)
![{\displaystyle t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda72683b547c6d7ad3342e89437b0618f48fc75)
其具有以下不变形式:
![{\displaystyle {c^{2}}{t^{2}}-x^{2}-y^{2}-z^{2}={c^{2}}{t'^{2}}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46aa1368c0fa169f247121814119444a47e466bd)
或者写成微分形式
![{\displaystyle {c^{2}}{dt^{2}}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}={c^{2}}{dt'^{2}}-dx'^{2}-dy'^{2}-dz'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e674a1992b53c194c6099687ed17fd980aeccbc9)
在适当地选取坐标系可使
对于牛顿力学中的动量、能量作了以下的修正:
![{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a271a96e7b925fd39686375167c76d406e87c813)
![{\displaystyle E=mc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f73dbd37a0cac34406ee89057fa1b36a1e6a18e)
其中
,:
为物质在静止下的质量
能量和动量有以下关系:
![{\displaystyle E^{2}={\left(pc\right)}^{2}+{\left(m_{0}c^{2}\right)}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01776500f760cf2cca4270fd1a4d151e2c81d75f)
广义相对论
狭义相对论仅限于等速、时空可近似平坦地情况下,然而在讨论大尺度且有引力场的情况下,就必须使用广义相对论。
爱因斯坦认为,惯性坐标系并没有优于其他坐标系,一切的物理定律应在任何参考坐标系下皆成立,所有的变换应都是协变的。因此,在其论文中,大量地使用称之为张量(Tensor)的数学工具,其方程往往是非线性的,因此很难求解。
数学形式
一小段弧长ds平方的不变式
为度规张量
和
为逆变张量
质点沿测地线运动,测地线方程可以用哈密顿原理或是平行位移(parallel transportation)等方式推导,以下为测地线方程:
为克里斯多福符号
在非欧式空间中,描述空间曲率的张量为黎曼-克里斯多福张量
参考文献
外部链接
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