狹義相對論
在狹義相對論中,微積分、矩陣為其所用到的主要數學工具,配合閔可夫斯基時空的轉換以及勞倫茲不變量的使用,粗略地描述了時、空的性質。當s'座標系在s座標系沿x軸作等速v運動時,其轉換以以下方程表示:
![{\displaystyle x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b33fdafcdf9ea944b7a892a73ef79c4056d9800)
![{\displaystyle y'=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6239f12a70a7f715303934acf9dbae208fceb80)
![{\displaystyle z'=z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bfd939a15c0857a6b1df928f061d0e8973c342)
![{\displaystyle t'={\frac {t-{\frac {v}{c^{2}}}x}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda72683b547c6d7ad3342e89437b0618f48fc75)
其具有以下不變形式:
![{\displaystyle {c^{2}}{t^{2}}-x^{2}-y^{2}-z^{2}={c^{2}}{t'^{2}}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46aa1368c0fa169f247121814119444a47e466bd)
或者寫成微分形式
![{\displaystyle {c^{2}}{dt^{2}}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}={c^{2}}{dt'^{2}}-dx'^{2}-dy'^{2}-dz'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e674a1992b53c194c6099687ed17fd980aeccbc9)
在適當地選取座標系可使
對於牛頓力學中的動量、能量作了以下的修正:
![{\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a271a96e7b925fd39686375167c76d406e87c813)
![{\displaystyle E=mc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f73dbd37a0cac34406ee89057fa1b36a1e6a18e)
其中
,:
為物質在靜止下的質量
能量和動量有以下關係:
![{\displaystyle E^{2}={\left(pc\right)}^{2}+{\left(m_{0}c^{2}\right)}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01776500f760cf2cca4270fd1a4d151e2c81d75f)
廣義相對論
狹義相對論僅限於等速、時空可近似平坦地情況下,然而在討論大尺度且有引力場的情況下,就必須使用廣義相對論。
愛因斯坦認為,慣性坐標系並沒有優於其他坐標系,一切的物理定律應在任何參考座標系下皆成立,所有的變換應都是協變的。因此,在其論文中,大量地使用稱之為張量(Tensor)的數學工具,其方程往往是非線性的,因此很難求解。
數學形式
一小段弧長ds平方的不變式
為度規張量
和
為逆變張量
質點沿測地線運動,測地線方程可以用哈密頓原理或是平行位移(parallel transportation)等方式推導,以下為測地線方程:
為克里斯多福符號
在非歐式空間中,描述空間曲率的張量為黎曼-克里斯多福張量
參考文獻
外部連結
|
---|
| | | 基礎概念 | |
---|
| 現象 | |
---|
| 方程 | |
---|
| 進階理論 | |
---|
| 精確解 | |
---|
| 近似解與數值模擬 | |
---|
| 科學家 | |
---|
|