在哈密顿力学里，因为哈密顿方程对于广义坐标 
与广义动量 
的运算在正负号上并不对称，必须用两个方程来表示：
，
；
这里， 
是哈密顿量。
辛标记提供了一种既简单，又有效率的标记方法来展示方程及数学运算。辛标记的英文名 “Symplectic notation” 最先是德国著名数学家赫尔曼·外尔提出的[1]。 Symplectic 这字原来在希腊文是纠缠或编结的意思；用在这里主要是形容广义坐标和广义动量互相编结在一起的情况。
设定一个 
的竖矩阵 
:
![{\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{T}=[q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N}]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc930f57e8a8aa9cd6743eac48357aec69039cc8)
；
此矩阵上半段是广义坐标、下半段是广义动量、
代表转置运算。我们也可以将 视为一个向量。
定义辛矩阵 
为一个斜对称的 
方块矩阵：
；
这里， 是由 4 个 
零矩阵
与单位矩阵
组成。
这样，哈密顿方程可以简易的表示为
。
正则变换
正则变换是一种正则坐标的改变，而同时维持哈密顿方程的形式，虽然哈密顿量可能会改变。所以，使用正则变换，正则坐标会从旧正则坐标 改变成新正则坐标 
， 
；哈密顿量也从旧的哈密顿量 改变成新的哈密顿量 
，
；但是，哈密顿方程的形式仍旧维持不变：
。
帕松括号
在相空间中，用正则坐标 
，两个函数
的泊松括号记作:
![{\displaystyle {\big [}f,g{\big ]}_{\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} }=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfc1ceb41877dc8e627931d2fd9af29d6319ea5)
。
用辛标记，
![{\displaystyle {\big [}f,g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ebc9b3bf7e19e7e1b632d3c68f1802a2ca67de)
。
参阅
参考文献
- ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 343. ISBN 0201657023 （英语）.
