在哈密頓力學裏,因為哈密頓方程式對於廣義坐標
與廣義動量
的運算在正負號上並不對稱,必須用兩個方程式來表示:
,
;
這裏,
是哈密頓量。
辛標記提供了一種既簡單,又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。辛標記的英文名 「Symplectic notation」 最先是德國著名數學家赫爾曼·外爾提出的[1]。 Symplectic 這字原來在希臘文是糾纏或編結的意思;用在這裏主要是形容廣義坐標和廣義動量互相編結在一起的情況。
設定一個
的豎矩陣
:
;
此矩陣上半段是廣義坐標、下半段是廣義動量、
代表轉置運算。我們也可以將
視為一個向量。
定義辛矩陣
為一個斜對稱的
方塊矩陣:
;
這裏,
是由 4 個
零矩陣
與單位矩陣
組成。
這樣,哈密頓方程式可以簡易的表示為
。
正則變換
正則變換是一種正則坐標的改變,而同時維持哈密頓方程式的形式,雖然哈密頓量可能會改變。所以,使用正則變換,正則坐標會從舊正則坐標
改變成新正則坐標
,
;哈密頓量也從舊的哈密頓量
改變成新的哈密頓量
,
;但是,哈密頓方程式的形式仍舊維持不變:
。
帕松括號
在相空間中,用正則座標
,兩個函數
的泊松括號記作:
。
用辛標記,
。
參閱
參考文獻
- ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 343. ISBN 0201657023 (英語).