条件独立

在概率论和统计学中，两事件R 和B 在给定的另一事件Y 发生时条件独立，类似于统计独立性，就是指当事件Y 发生时，R 发生与否和B 发生与否就条件概率分布而言是独立的。换句话讲，R 和B 在给定Y 发生时条件独立，当且仅当已知Y 发生时，知道R 发生与否无助于知道B 发生与否，同样知道B 发生与否也无助于知道R 发生与否。

定义

两个说明条件独立的例子。每个小方格都表示一种等概率的可能结果。事件R、B、Y分别用红色、蓝色、黄色阴影部分表示。事件R和B的重叠部分用紫色表示。这些事件发生的概率等于相应阴影部分面积和图形总面积的比值。在这两个例子中，事件R和B在给定Y时都是条件独立的，这是因为 $\Pr(R\cap B\mid Y)=\Pr(R\mid Y)\Pr(B\mid Y)\,$
但给定Y不发生时，它们不是条件独立的，这是因为 : $\Pr(R\cap B\mid {\bar {Y}})\not =\Pr(R\mid {\bar {Y}})\Pr(B\mid {\bar {Y}}).\,$

R和B在给定Y发生时条件独立，用概率论的标准记号表示为

$\Pr(R\cap B\mid Y)=\Pr(R\mid Y)\Pr(B\mid Y)\,$

也可以等价地表示为

$\Pr(R\mid B\cap Y)=\Pr(R\mid Y).\,$

因为当事件Y发生时，R发生与否和B发生与否就条件概率分布而言是独立的。

两个随机变量X和Y在给定第三个随机变量Z的情况下条件独立当且仅当它们在给定Z时的条件概率分布互相独立，也就是说，给定Z的任一值，X的概率分布和Y的值无关，Y的概率分布也和X的值无关。

法则

从基本定义可导出一套描述条件独立的重要法则。

因这些推论在任何概率空间中都成立，因此也对所有变量关于另一变量的条件概率分布成立，只需考虑相应子空间即可。譬如说$X\perp \!\!\!\perp Y\Rightarrow Y\perp \!\!\!\perp X$也就意味着$X\perp \!\!\!\perp Y\mid K\Rightarrow Y\perp \!\!\!\perp X\mid K$。

注：位于算式下方的逗号意为“和”。

对称性

$X\perp \!\!\!\perp Y\quad \Rightarrow \quad Y\perp \!\!\!\perp X$

分解

$X\perp \!\!\!\perp A,B\quad \Rightarrow \quad {\text{ and }}{\begin{cases}X\perp \!\!\!\perp A\\X\perp \!\!\!\perp B\end{cases}}$

证明：

• $p_{X,A,B}(x,a,b)=p_{X}(x)p_{A,B}(a,b)$      ($X\perp \!\!\!\perp A,B$的定义)
• $\int _{B}\!p_{X,A,B}(x,a,b)=\int _{B}\!p_{X}(x)p_{A,B}(a,b)$      (对B积分以消去B)
• $p_{X,A}(x,a)=p_{X}(x)p_{A}(a)$     

同理可证X和B条件独立。

微弱的联合

$X\perp \!\!\!\perp A,B\quad \Rightarrow \quad {\text{ and }}{\begin{cases}X\perp \!\!\!\perp A\mid B\\X\perp \!\!\!\perp B\mid A\end{cases}}$

证明：

• 借由定义$\Pr(X)=\Pr(X\mid A,B)$
• 由于分解的属性$X\perp \!\!\!\perp B$, $\Pr(X)=\Pr(X\mid B)$
• 结合两个等式得$\Pr(X\mid B)=\Pr(X\mid A,B)$，其中确认 $X\perp \!\!\!\perp A\mid B$第二个条件可以类似地被证明。

参见

• 条件期望