多项式矩阵

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多项式矩阵，也称为λ－矩阵、矩阵系数多项式（不是矩阵多项式），是数学中矩阵论里的概念，指系数是多项式的方块矩阵。使用“λ－矩阵”的名称时，说明系数多项式以λ为不定元。

严格定义

给定自然数n和系数环$\mathbf {R}$，一个n阶多项式矩阵A为如下形式：

$A(\lambda )=\left[a_{i,j}(\lambda )\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n},\quad \forall 1\leqslant i,j\leqslant n,\;\;a_{i,j}(\lambda )=\sum _{k=0}^{d_{i,j}}a_{i,j,k}\lambda ^{k}\in \mathbf {R} \left[\lambda \right]$，

其中$d_{i,j}$是每个多项式$a_{i,j}(\lambda )$的次数。如果设其中最大的为$d$：

$d=\max _{1\leqslant i,j\leqslant n}\{d_{i,j}\}$

那么多项式矩阵A也可以表达为：

$A=\sum _{k=0}^{d}\lambda ^{k}\left[a_{i,j,k}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}=\sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}.$

其中约定当$k>d_{i,j}$时，$a_{i,j,k}=0$.

由于多项式矩阵也能被表达为以（数值）矩阵为系数的多项式，所以也被称为矩阵系数多项式。如果最高次系数矩阵$A(d)$的行列式不为零，则称多项式矩阵A为为正则多项式矩阵（regular polynomial matrix）。所有n阶多项式矩阵的集合记为${\mathcal {M}}_{n}(\mathbf {R} \left[\lambda \right])$或${\mathcal {M}}_{n}(\mathbf {R} )\left[\lambda \right]$。前者表示所有以多项式为系数的n阶方块矩阵的集合，后者表示所有n阶方块矩阵为系数的多项式的集合。可以验证两者是同构的。

例子

所有的数值矩阵都是多项式矩阵，因为可以将每个元素看成一个零多项式。设系数环为实数域，以下是一个3阶多项式矩阵：

$P={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.$

特征矩阵是多项式矩阵的一个例子。设有n阶数值矩阵A，则特征矩阵实际上是一次多项式矩阵：$P_{A}(\lambda )=\lambda \mathbf {I} _{n}-A$。而特征矩阵的行列式$\det \left(\lambda \mathbf {I} _{n}-A\right)$就是数值矩阵A的特征多项式。

性质

由于多项式代数和矩阵代数的结构特性，环$\mathbf {R}$上的所有n阶多项式矩阵也构成一个代数。两个n阶多项式矩阵可以互相加减、相乘，并且满足加法交换律和乘法分配律（不满足乘法交换律）。用与数值矩阵相同的方式可以定义多项式矩阵的初等变换、相似关系、等价关系（也称为相抵）、秩以及行列式。

如果系数环是域，那么可以证明，所有的多项式矩阵都可以对角化。任何一个秩为r ≤ n的多项式矩阵，都可以相抵于一个对角多项式矩阵：

$a\operatorname {diag} (d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda ),\cdots ,d_{r}(\lambda ),0,\cdots ,0)$

其中的每个非零的对角元素$d_{i}(\lambda )$都是首一多项式，并且整除下一个对角元素$d_{i+1}(\lambda )$。这种形式称为多项式矩阵的史密斯标准型（Smith normal form），所有的$d_{i}(\lambda )$被称为原多项式矩阵的不变因子。

如果将n阶多项式矩阵看成以n阶方块矩阵为系数的多项式，可以通过将其中的不定元λ替换为一个n阶方块数值矩阵B，而得到一个n阶数值矩阵。这种操作称为多项式矩阵的矩阵替换。由于矩阵乘法不满足交换律，所以替换分为左替换和右替换：

左替换：将$\sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}$ 替换为 $\sum _{k=0}^{d}B^{k}\cdot A(k),$ 也记作$P_{l}^{A}(B),$

右替换：将$\sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}$ 替换为 $\sum _{k=0}^{d}A(k)\cdot B^{k},$ 也记作$P_{r}^{A}(B).$

如果系数环是域，那么多项式矩阵之间可以做带余除法：如果$A(\lambda )$和$B(\lambda )$都是多项式矩阵，其中$B(\lambda )\neq 0$，那么唯一存在多项式矩阵$Q(\lambda )$和$R(\lambda )$，满足

1. $A(\lambda )=B(\lambda )Q(\lambda )+R(\lambda ),$
2. $R(\lambda )$作为多项式的次数严格小于$B(\lambda )$，或者为零。

参见

• 特征多项式
• 不变因子
• 初等因子