多项式矩阵,也称为λ-矩阵、矩阵系数多项式(不是矩阵多项式),是数学中矩阵论里的概念,指系数是多项式的方块矩阵。使用“λ-矩阵”的名称时,说明系数多项式以λ为不定元。
严格定义
给定自然数n和系数环
,一个n阶多项式矩阵A为如下形式[1]:120:
,
其中
是每个多项式
的次数。如果设其中最大的为
:
![{\displaystyle d=\max _{1\leqslant i,j\leqslant n}\{d_{i,j}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db23a1525cb3210e14cb9ea30991691c49b8715)
那么多项式矩阵A也可以表达为[2]:232:
![{\displaystyle A=\sum _{k=0}^{d}\lambda ^{k}\left[a_{i,j,k}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}=\sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4b49b0e1c6bd1f7cd03f2307612e45b9139f402)
其中约定当
时,
.
由于多项式矩阵也能被表达为以(数值)矩阵为系数的多项式,所以也被称为矩阵系数多项式。如果最高次系数矩阵
的行列式不为零,则称多项式矩阵A为为正则多项式矩阵(regular polynomial matrix)[2]:232。所有n阶多项式矩阵的集合记为
或
。[2]:232前者表示所有以多项式为系数的n阶方块矩阵的集合,后者表示所有n阶方块矩阵为系数的多项式的集合。可以验证两者是同构的。
例子
所有的数值矩阵都是多项式矩阵,因为可以将每个元素看成一个零多项式。设系数环为实数域,以下是一个3阶多项式矩阵:
![{\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c6fb61105c102dd2c7f7aac16cddd2ab7bb8d2)
特征矩阵是多项式矩阵的一个例子。设有n阶数值矩阵A,则特征矩阵实际上是一次多项式矩阵:
。而特征矩阵的行列式
就是数值矩阵A的特征多项式。
性质
由于多项式代数和矩阵代数的结构特性,环
上的所有n阶多项式矩阵也构成一个代数。两个n阶多项式矩阵可以互相加减、相乘,并且满足加法交换律和乘法分配律(不满足乘法交换律)。用与数值矩阵相同的方式可以定义多项式矩阵的初等变换、相似关系、等价关系(也称为相抵)、秩以及行列式[1]:121。
如果系数环是域,那么可以证明,所有的多项式矩阵都可以对角化。任何一个秩为r ≤ n的多项式矩阵,都可以相抵于一个对角多项式矩阵:
![{\displaystyle a\operatorname {diag} (d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda ),\cdots ,d_{r}(\lambda ),0,\cdots ,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa364b4137001f12c74a93da6b2ff9ddce8c42b)
其中的每个非零的对角元素
都是首一多项式,并且整除下一个对角元素
。这种形式称为多项式矩阵的史密斯标准型(Smith normal form),所有的
被称为原多项式矩阵的不变因子[1]:122。
如果将n阶多项式矩阵看成以n阶方块矩阵为系数的多项式,可以通过将其中的不定元λ替换为一个n阶方块数值矩阵B,而得到一个n阶数值矩阵。这种操作称为多项式矩阵的矩阵替换。由于矩阵乘法不满足交换律,所以替换分为左替换和右替换[2]:233:
- 左替换:将
替换为
也记作![{\displaystyle P_{l}^{A}(B),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8317397e920f88c70a6f787ada0f5f827c614dc6)
- 右替换:将
替换为
也记作![{\displaystyle P_{r}^{A}(B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0bdc746986f61fbfbbb07153195d473bd6f8c6)
如果系数环是域,那么多项式矩阵之间可以做带余除法:如果
和
都是多项式矩阵,其中
,那么唯一存在多项式矩阵
和
,满足
![{\displaystyle A(\lambda )=B(\lambda )Q(\lambda )+R(\lambda ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8191dac0248efad41b382cd90327670e623170)
作为多项式的次数严格小于
,或者为零。
参见
参考来源