高斯常數

高斯常數符號為G，是1和根號2之算術-幾何平均數的倒數：

G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots .

G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}

因此

G={\frac {1}{2\pi }}B({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})

其中B為貝塔函數。

和其他常數的關係

高斯常數常用來表示 $\color {blue}\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 的數值。

\Gamma ({\tfrac {1}{4}})={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

換句話說

G={\frac {[\Gamma ({\tfrac {1}{4}})]^{2}}{2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}

因為 $\pi$ 和 $\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 互相代數獨立，且 $\Gamma ({\frac {1}{4}})$ 為無理數，因此高斯常數為超越數。

高斯常數常用來定義lemniscate常數，第一lemniscate常數為：

L_{1}\;=\;\pi G

第二lemniscate常數為：

L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}

在計算伯努利雙紐線的弧長時會出現這些常數。

以下是一個用Θ函數定義高斯常數的公式

G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi })

也可以用以下快速收斂的級數表示

G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}.

高斯常數也可以用無窮乘積表示：

G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right).

在以下的定積分中也有高斯常數

{\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}dx=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}dx

G=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}}

高斯常數的連分數為[0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. （OEIS數列A053002）

閱論編卡爾·腓特烈·高斯
成就	高斯複合律（英語：Gauss composition law）高斯映射高斯表示法（英語：Gauss notation）高斯法（英語：Gauss's method）高斯括號（英語：Gaussian brackets）高斯曲率高斯週期（英語：Gaussian period）高斯面高斯單位制高斯重力定律高斯定律高斯磁定律高斯散度定理高斯引力常數高斯-馬可夫定理高斯和高斯-克呂格坐標系高斯常數磁強計計算穀神星運行軌跡
著作	《算術研究》
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