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立方體堆砌

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立方體堆砌
立方蜂巢體
線架圖
類型正堆砌
家族立方形堆砌
維度3
對偶多胞形立方體堆砌自身對偶在維基數據編輯
類比正方形鑲嵌
識別
名稱立方體堆砌
參考索引[1]J11,15, A1
W1, G22
鮑爾斯縮寫
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
chon在維基數據編輯
數學表示法
考克斯特符號
英語Coxeter-Dynkin diagram
node_1 4 node 3 node 4 node 
考克斯特記號
英語Coxeter notation
[4,3,4]
纖維流形記號4:2
施萊夫利符號{4,3,4}在維基數據編輯
性質
{4,3}
棱處相交胞:4×{4,3}
頂點處相交胞:8×{4,3}
{4}
棱處相交面:4×{4}
頂點處相交面:12×{4}

頂點處相交棱:6
歐拉示性數0
組成與佈局
頂點圖
正八面體
對稱性
對稱群
空間群Pm3m
考克斯特群, [4,3,4]
特性
頂點正英語vertex-transitive

立方體堆砌(Cubic Honeycomb)[2]三維空間內唯一的正密鋪,也是28個半正密鋪之一,由立方體堆砌而成,其縮寫為chon[3]。它亦可被看作是四維空間中由無窮多個立方體胞組成的二胞角為180°的四維正無窮胞體,因此在許多情況下它被算作是四維的多胞體。

立方形家族裏的多胞形二胞角總是90°,因此總能獨自完成超平面密鋪,這些密鋪又構成了另一家族「立方形堆砌」,具有對稱性,有施萊夫利符號形式{4,3,……,3,4}。

性質

立方體堆砌由立方體填滿空間組成,每個頂點都是8個立方體的公共頂點、每條稜都是4個立方體的公共稜。

頂點坐標

簡單立方

立方體堆砌頂點的笛卡爾坐標為:

(i, j, k)
對所有的i,j,k皆為立方體邊長整數

因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。

由於立方體堆砌是一個自身對偶多胞形,因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方體堆砌,因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子,而i,j,k值則為相鄰立方體幾何中心距離的整數倍。

正交投影

正交投影
對稱性 p6m (*632) p4m (*442) pmm (*2222)
實體圖
框線圖

相關堆砌

立方體堆砌是平面正方形鑲嵌{4,4}在三維空間的類比,他們的形式皆為{4,3,...,3,4},為立方形堆砌家族的一部份,在這個系列的鑲嵌都是自身對偶。他也是28種由凸均勻多面體組成的均勻鑲嵌之一。

自然界中的立方體堆砌

氯化鈉(NaCl)的晶體結構:面心立方晶格

作為少有的三維半正堆砌,自然界中許多晶體都具有類似立方體堆砌的晶體結構,在固體物理學中被稱為「立方晶系」,許多固體化合物,如氯化鈉硫化鋅氯化亞銅螢石三氧化錸金屬單質,如等,都具有這種晶系的結構。

簡單立方晶格

簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性,通過較低的晶系代表:

晶系 單斜
三斜
正交 四方 三方 立方

單位晶格
平行六面體 長方體 三方
偏方面體
正方體
點群

旋轉對稱群
[ ], (*)
Order 2
[ ]+, (1)
[2,2], (*222)
Order 8
[2,2]+, (222)
[4,2], (*422)
Order 16
[4,2]+, (422)
[3], (*33)
Order 6
[3]+, (33)
[4,3], (*432)
Order 48
[4,3]+, (432)
圖示
空間群
旋轉對稱群
Pm (6)
P1 (1)
Pmmm (47)
P222 (16)
P4/mmm (123)
P422 (89)
R3m (160)
R3 (146)
Pm3m (221)
P432 (207)
考克斯特式 - [∞]a×[∞]b×[∞]c [4,4]a×[∞]c - [4,3,4]a
考克斯特符號英語Coxeter diagram - node_1 infin node 2 node_1 infin node 2 node_1 infin node  node_1 4 node 4 node 2 node_1 infin node  - node_1 4 node 3 node 4 node 

表面着色

作為立方形堆砌家族其中一員,立方體堆砌有對稱性,有施萊夫利符號{4,3,4},考克斯特符號node_1 4 node 3 node 4 node ,除此之外,作為一個空間堆砌,它有Pm3m空間平移對稱性。

而然,立方體堆砌亦可以被看作是許多具有不同對稱性的半正堆砌,它們所對應的對稱性、施萊夫利符號、考克斯特符號見下表:

名稱 考克斯特標記
空間群
考克斯特—迪肯符號英語Coxeter-Dynkin diagram 施萊夫利符號 有限部
分圖像
顏色組合
(字母表示)
立方體堆砌 [4,3,4]
Pm3m
node_1 4 node 3 node 4 node  {4,3,4}
1: aaaa/aaaa
三次截半半
立方體堆砌
[4,31,1]
Fm3m
node_1 4 node split1 nodes  {4,31,1}
2: abba/baab
截面立方體
堆砌
[4,3,4]
Pm3m
node_1 4 node 3 node 4 node_1  t0,3{4,3,4}
4: abbc/bccd
[[4,3,4]]
Pm3m (229)
branch 4a4b nodes_11  t0,3{4,3,4}
4: abbb/bbba
正四稜柱
堆砌
[4,3,4,2,∞] node_1 4 node 4 node 2 node_1 infin node_1  {4,4}×t{∞}
2: aaaa/bbbb
截棱正四稜柱
堆砌
[4,3,4,2,∞] node 4 node_1 4 node 2 node_1 infin node  t1{4,4}×{∞}
2: abba/abba
無窮次無窮次
無窮邊形
[∞,2,∞,2,∞] node_1 infin node_1 2 node_1 infin node_1 2 node_1 infin node  t{∞}×t{∞}×{∞}
4: abcd/abcd
無窮次無窮次
無窮邊形
[∞,2,∞,2,∞] node_1 infin node_1 2 node_1 infin node_1 2 node_1 infin node_1  t{∞}×t{∞}×t{∞}
8: abcd/efgh

相關多面體和鑲嵌

立方體堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似,但超正方體只存在四維空間,且每個邊的周為只有三個正方體而立方體堆砌有四個。此外,也可以有每個邊的周為有五個正方體,他稱為五階立方體堆砌,存在於雙曲空間,施萊夫利符號為{4,3,5}。

{p,3,4}
空間 S3 E3 H3英語雙曲空間
來源 有限 仿射 緊湊 仿緊 非緊
施式 {3,3,4}
node_1 3 node 3 node 4 node 
node_1 3 node split1 nodes 
{4,3,4}
node_1 4 node 3 node 4 node 
node_1 4 node split1 nodes 
labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 2 labelinfin branch_10 
{5,3,4}英語order-4 dodecahedral honeycomb
node_1 5 node 3 node 4 node 
node_1 5 node split1 nodes 
{6,3,4}英語order-4 hexagonal tiling honeycomb
node_1 6 node 3 node 4 node 
node_1 6 node split1 nodes 
node ultra node_1 split1 branch_11 uaub nodes 
{7,3,4}
node_1 7 node 3 node 4 node 
node_1 7 node split1 nodes 
{8,3,4}
node_1 8 node 3 node 4 node 
node_1 8 node split1 nodes 
... {∞,3,4}
node_1 infin node 3 node 4 node 
node_1 infin node split1 nodes 
圖像

{3,3}
node_1 3 node 3 node 

{4,3}
node_1 4 node 3 node 

{5,3}
node_1 5 node 3 node 

{6,3}
node_1 6 node 3 node 

{7,3}
node_1 7 node 3 node 

{8,3}
node_1 8 node 3 node 

{∞,3}
node_1 infin node 3 node 

考克斯特群[4,3,4]、node 4 node 3 node 4 node 產生15個排列均勻的鑲嵌中,9個具有獨特的的幾何形狀,包括交替立方體堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。

空間群 纖維流形 擴展
對稱群
擴展
標記
蜂巢體
(堆砌)
Pm3m
(221)
4:2 [4,3,4] node_c1 4 node_c2 3 node_c3 4 node_c4  ×1 node_1 4 node 3 node 4 node  1, node 4 node_1 3 node 4 node  2, node_1 4 node_1 3 node 4 node  3, node_1 4 node 3 node_1 4 node  4,
node_1 4 node_1 3 node_1 4 node  5, node_1 4 node_1 3 node 4 node_1  6
Fm3m
(225)
2:2 [1+,4,3,4]
↔ [4,31,1]
node_h1 4 node 3 node_c1 4 node_c2 
nodes_10ru split2 node_c1 4 node_c2 
Half node_h1 4 node 3 node 4 node  7, node_h1 4 node 3 node_1 4 node  11, node_h1 4 node 3 node 4 node_1  12, node_h1 4 node 3 node_1 4 node_1  13
I43m
(217)
4o:2 [[(4,3,4,2+)]] branch 4a4b nodes_hh  Half × 2 branch 4a4b nodes_hh  (7),
Fd3m
(227)
2+:2 [[1+,4,3,4,1+]]
↔ [[3[4]]]
branch 4a4b nodes_h1h1 
branch_11 3ab branch 
Quarter × 2 branch 4a4b nodes_h1h1  10,
Im3m
(229)
8o:2 [[4,3,4]] branch_c2 4a4b nodeab_c1  ×2

branch 4a4b nodes_11  (1), branch_11 4a4b nodes  8, branch_11 4a4b nodes_11  9

考克斯特群[4,31,1], node 4 node split1 nodes , 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中,其中4個具有獨特的的幾何形狀,包括交替立方體堆砌。

空間群 纖維流形 擴展
對稱群
擴展
標記
蜂巢體
(堆砌)
Fm3m
(225)
2:2 [4,31,1]
↔ [4,3,4,1+]
node_c1 4 node_c2 split1 nodes_10lu 
node_c1 4 node_c2 3 node 4 node_h1 
×1 node 4 node split1 nodes_10lu  1, node_1 4 node split1 nodes_10lu  2, node 4 node_1 split1 nodes_10lu  3, node_1 4 node_1 split1 nodes_10lu  4
Fm3m
(225)
2:2 <[1+,4,31,1]>
↔ <[3[4]]>
node_h1 4 node split1 nodeab_c1 
node_1 split1 nodeab_c1 split2 node 
×2 node_h1 4 node split1 nodes  (1), node_h1 4 node split1 nodes_11  (3)
Pm3m
(221)
4:2 <[4,31,1]> node_c3 4 node_c2 split1 nodeab_c1  ×2

node_1 4 node split1 nodes  5, node 4 node_1 split1 nodes  6, node_1 4 node_1 split1 nodes  7, node 4 node split1 nodes_11  (6), node_1 4 node split1 nodes_11  9, node 4 node_1 split1 nodes_11  10, node_1 4 node_1 split1 nodes_11  11

立方體堆砌是考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌[4]之一,其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性:

空間群 纖維流形 方形
對稱群
擴展
對稱群
擴展
標記
擴展
蜂巢體
(堆砌)
F43m
(216)
1o:2 a1 [3[4]] node split1 nodes split2 node  ×1 (None)
Fd3m
(227)
2+:2 p2 [[3[4]]] branch_11 3ab branch 
node_h1 4 node 3 node 4 node_h1 
×2 branch_11 3ab branch  3
Fm3m
(225)
2:2 d2 <[3[4]]>
↔ [4,3,31,1]
node_c3 split1 nodeab_c1-2 split2 node_c3 
node 4 node_c3 split1 nodeab_c1-2 
×2 node split1 nodes_10luru split2 node  1,node_1 split1 nodes_10luru split2 node_1  2
Pm3m
(221)
4:2 d4 [2[3[4]]]
↔ [4,3,4]
node_c1 split1 nodeab_c2 split2 node_c1 
node 4 node_c1 3 node_c2 4 node 
×4 node split1 nodes_11 split2 node  4
Im3m
(229)
8o:2 r8 [4[3[4]]]
↔ [[4,3,4]]
branch_c1 3ab branch_c1 
branch_c1 4a4b nodes 
×8 branch_11 3ab branch_11  5, branch_hh 3ab branch_hh  (*)

參考

  1. ^ For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).
  2. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)
  3. ^ Klitzing, Richard. chon. bendwavy.org. [2014-04-27]. 
  4. ^ [1]頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), A000029頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) 6-1 cases, skipping one with zero marks
  • H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover參與編輯, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
  • George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (包含11個凸半正鑲嵌、28個凸半正堆砌、和143個凸半正四維砌的全表)
  • Branko Grünbaum, 三維正鑲嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication參與編輯, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
    • (22頁) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空間鑲嵌)
  • A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
  • Klitzing, Richard. 3D Euclidean Honeycombs x4o3o4o - chon - O1. bendwavy.org. 
  • Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon頁面存檔備份,存於互聯網檔案館