特徵方程式(characteristic equation)或輔助方程式(auxiliary equation)[1]為數學名詞,是對應n階微分方程[2]或差分方程[3][4]的n次代數方程式。只有線性齊次常系數的微分方程或差分方程才有特徵方程式[1]。考慮一微分方程,其應變量為y,an, an − 1, ..., a1, a0為常數
![{\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d01ee956b9ec9054159089559e85db02b3309b65)
其特徵方程式如下
![{\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdcd5a4414254370c598c93e6cad75ea8f0b8fd)
根據其解r1, r2, ..., rn可以產生微分方程的通解[1][5][6]。而一個線性差分方程
![{\displaystyle y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21af2b91d4dc93d49c8f94c8a1a111d1810ea064)
也有其特徵方程式
![{\displaystyle r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb9afa887232407051174532a455e99a2fa1b57)
特徵方程式的根也可以提供動態方程的特性資訊。若是一個自變量為時間的微分方程,其應變量穩定的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程,穩定的充份必要條件是每一個根的絕對值都小於1。針對這兩種系統,若是有複數根,表示其解會振盪。
線性常系數常微分方程的積分求解法是由萊昂哈德·歐拉發現,他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程」有關[2]。後來法國科學家奧古斯丁·路易·柯西及加斯帕爾·蒙日也提及歐拉的特徵方程,而且提到不少細節[2][6]。
推導
考慮常系數的線性齊次微分方程
an, an − 1, ..., a1, a0,
![{\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a8cdfb76c6c28776c8d2dd046a3a007bf451b6)
假設y(x) = erx,而指數函數erx的導數是本身的倍數,y′ = rerx, y″ = r2erx,y(n) = rnerx。因此上式中的每一項都會是erx的倍數。若r為特定值,可以讓erx的倍數變為0,這樣即可求解齊次微分方程[5]。為了求解r,可以將y = erx及其導數替換到微分方程中,可以得到
。
因為erx不會為零,因此其系數必須為零,可以得到以下的特徵方程式
![{\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdcd5a4414254370c598c93e6cad75ea8f0b8fd)
求解特徵方程式中的r,可以求得微分方程的通解[1][6]。例如,若r為3,其通解為y(x) = ce3x,其中c為積分常數。
有關通解的公式
找到特徵方程式的根r1, ..., rn,就可以找到微分方程的通解。特徵方程式的根可能是實數或複數,可能都是不同的值,也可能會有相同的值(重根)。若特徵方程式的根有相異的實根,另外有h個重根,或是k個複數的根,其解分別為yD(x), yR1(x), ..., yRh(x)及yC1(x), ..., yCk(x),因此通解為
![{\displaystyle y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3341970f3e9345dcbcf41284754527609011958c)
例子
以下是常系數的線性齊次微分方程
![{\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd252437e8649727a3573730dc83f155ca1fd8b)
其特徵方程為
![{\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4589007100ecdc006955a4eef0c21794ea809d)
將特徵方程因式分解,可得到
![{\displaystyle (r-3)\left(r^{2}+2r+2\right)^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2227424c218132c4f5247d78a5185305efaf25)
可以看到r的解有一個單根,r1 = 3以及重根的複數根r2,3,4,5 = −1 ± i,因此其通解為
![{\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6254ebe73eca1433d26531479774e5964ead95f6)
其中有常數c1, ..., c5。
相異實根
根據應用在常系數線性齊次微分方程的疊加原理,若u1, ..., un是特定微分方程的n個線性無關的解,則c1u1 + ... + cnun也是其解,其中c1, ..., cn為任意常數[1][7]。因此,若特徵方程有相異實根r1, ..., rn,則通解為
。
重根實根
若特徵方程式中有重複k次的根r1,可以確定yp(x) = c1er1x會是微分方程的解,不過這個解沒有針對其他k − 1的根提供線性無關的解。因為r1為k次重根,可以將微分方程改寫為[1]
.
因為yp(x) = c1er1x為其中的一個解,因此可以令通解為以下的形式y(x) = u(x)er1x,其中 u(x)是待確認的函數。將uer1x代入後可得
![{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0307ddbe164981f602c01bc5ac356a31150ab13)
其中k = 1。上述的式子應用k次,可以得到
![{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eae2930c5f74d2de201cc661f448c570df0fae2)
除以er1x後可得
![{\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1166c86b975dee83823d84d14646a730c27d7d93)
上述式子當且僅當u(x)是k − 1次的多項式,因此u(x) = c1 + c2x + c3x2 + ... + ckxk − 1.[6]。因為y(x) = uer1x,因此通解中對應r1的解會是
![{\displaystyle y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0b2b38116ce22f5f0bb205aef9f43781436e0c)
複數根
若二階微分方程有共軛複數根r1 = a + bi及r2 = a − bi,其對應的通解為y(x) = c1e(a + bi)x + c2e(a − bi)x。利用歐拉公式(eiθ = cos θ + i sin θ),可以將通解改寫如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aedb6239a1d2f25cc4d0d2263ace30346a9d0795)
其中c1和c2是系數,不過可能不是實數,而且隨初始條件而不同[6](因為y(x)是實數,c1 − c2需要是虛數或是零,c1 + c2為實數,為了要讓等號右邊為實數)
例如,若c1 = c2 = 1/2,可以得到特解y1(x) = eax cos bx,另外,若c1 = 1/2i及c2 = −1/2i,可以得到另一個獨立的解y2(x) = eax sin bx。利用重疊原則,有r = a ± bi複根的常系數線性齊次微分方程,其通解如下:
![{\displaystyle y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}\left(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa6f6f3d94496c37cce07f7285fd62042534e02)
上述的分析也可以應用在高階微分方程,其特徵方程式中也可能有非實數的共軛根。
參考資料
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Edwards, C. Henry; Penney, David E. Chapter 3. Differential Equations: Computing and Modeling. David Calvis. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education. 2008: 156–170. ISBN 978-0-13-600438-7.
- ^ 2.0 2.1 2.2 Smith, David Eugene. History of Modern Mathematics: Differential Equations. University of South Florida. [2019-05-05]. (原始內容存檔於2011-07-20).
- ^ Baumol, William J. Economic Dynamics 3rd. 1970: 172.
- ^ Chiang, Alpha. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. 1984: 578, 600.
- ^ 5.0 5.1 Chu, Herman; Shah, Gaurav; Macall, Tom. Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients. eFunda. [1 March 2011]. (原始內容存檔於2019-10-24).
- ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 Cohen, Abraham. An Elementary Treatise on Differential Equations. D. C. Heath and Company. 1906.
- ^ Dawkins, Paul. Differential Equation Terminology. Paul's Online Math Notes. [2 March 2011]. (原始內容存檔於2021-04-14).