特征方程式(characteristic equation)或辅助方程式(auxiliary equation)[1]为数学名词,是对应n阶微分方程[2]或差分方程[3][4]的n次代数方程式。只有线性齐次常系数的微分方程或差分方程才有特征方程式[1]。考虑一微分方程,其因变量为y,an, an − 1, ..., a1, a0为常数
![{\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d01ee956b9ec9054159089559e85db02b3309b65)
其特征方程式如下
![{\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdcd5a4414254370c598c93e6cad75ea8f0b8fd)
根据其解r1, r2, ..., rn可以产生微分方程的通解[1][5][6]。而一个线性差分方程
![{\displaystyle y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21af2b91d4dc93d49c8f94c8a1a111d1810ea064)
也有其特征方程式
![{\displaystyle r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bb9afa887232407051174532a455e99a2fa1b57)
特征方程式的根也可以提供动态方程的特性资讯。若是一个自变数为时间的微分方程,其应变数稳定的充份必要条件是每一个根的实部都是负值。若是差分方程,稳定的充份必要条件是每一个根的绝对值都小于1。针对这两种系统,若是有复数根,表示其解会振荡。
线性常系数常微分方程的积分求解法是由莱昂哈德·欧拉发现,他也发现了其解的特性和代数的“特征方程”有关[2]。后来法国科学家奥古斯丁·路易·柯西及加斯帕尔·蒙日也提及欧拉的特征方程,而且提到不少细节[2][6]。
推导
考虑常系数的线性齐次微分方程
an, an − 1, ..., a1, a0,
![{\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a8cdfb76c6c28776c8d2dd046a3a007bf451b6)
假设y(x) = erx,而指数函数erx的导数是本身的倍数,y′ = rerx, y″ = r2erx,y(n) = rnerx。因此上式中的每一项都会是erx的倍数。若r为特定值,可以让erx的倍数变为0,这样即可求解齐次微分方程[5]。为了求解r,可以将y = erx及其导数替换到微分方程中,可以得到
。
因为erx不会为零,因此其系数必须为零,可以得到以下的特征方程式
![{\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbdcd5a4414254370c598c93e6cad75ea8f0b8fd)
求解特征方程式中的r,可以求得微分方程的通解[1][6]。例如,若r为3,其通解为y(x) = ce3x,其中c为积分常数。
有关通解的公式
找到特征方程式的根r1, ..., rn,就可以找到微分方程的通解。特征方程式的根可能是实数或复数,可能都是不同的值,也可能会有相同的值(重根)。若特征方程式的根有相异的实根,另外有h个重根,或是k个复数的根,其解分别为yD(x), yR1(x), ..., yRh(x)及yC1(x), ..., yCk(x),因此通解为
![{\displaystyle y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3341970f3e9345dcbcf41284754527609011958c)
例子
以下是常系数的线性齐次微分方程
![{\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd252437e8649727a3573730dc83f155ca1fd8b)
其特征方程为
![{\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a4589007100ecdc006955a4eef0c21794ea809d)
将特征方程因式分解,可得到
![{\displaystyle (r-3)\left(r^{2}+2r+2\right)^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c2227424c218132c4f5247d78a5185305efaf25)
可以看到r的解有一个单根,r1 = 3以及重根的复数根r2,3,4,5 = −1 ± i,因此其通解为
![{\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6254ebe73eca1433d26531479774e5964ead95f6)
其中有常数c1, ..., c5。
相异实根
根据应用在常系数线性齐次微分方程的叠加原理,若u1, ..., un是特定微分方程的n个线性无关的解,则c1u1 + ... + cnun也是其解,其中c1, ..., cn为任意常数[1][7]。因此,若特征方程有相异实根r1, ..., rn,则通解为
。
重根实根
若特征方程式中有重复k次的根r1,可以确定yp(x) = c1er1x会是微分方程的解,不过这个解没有针对其他k − 1的根提供线性独立的解。因为r1为k次重根,可以将微分方程改写为[1]
.
因为yp(x) = c1er1x为其中的一个解,因此可以令通解为以下的形式y(x) = u(x)er1x,其中 u(x)是待确认的函数。将uer1x代入后可得
![{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0307ddbe164981f602c01bc5ac356a31150ab13)
其中k = 1。上述的式子应用k次,可以得到
![{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eae2930c5f74d2de201cc661f448c570df0fae2)
除以er1x后可得
![{\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1166c86b975dee83823d84d14646a730c27d7d93)
上述式子若且唯若u(x)是k − 1次的多项式,因此u(x) = c1 + c2x + c3x2 + ... + ckxk − 1.[6]。因为y(x) = uer1x,因此通解中对应r1的解会是
![{\displaystyle y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0b2b38116ce22f5f0bb205aef9f43781436e0c)
复数根
若二阶微分方程有共轭复数根r1 = a + bi及r2 = a − bi,其对应的通解为y(x) = c1e(a + bi)x + c2e(a − bi)x。利用欧拉公式(eiθ = cos θ + i sin θ),可以将通解改写如下:
![{\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aedb6239a1d2f25cc4d0d2263ace30346a9d0795)
其中c1和c2是系数,不过可能不是实数,而且随初始条件而不同[6](因为y(x)是实数,c1 − c2需要是虚数或是零,c1 + c2为实数,为了要让等号右边为实数)
例如,若c1 = c2 = 1/2,可以得到特解y1(x) = eax cos bx,另外,若c1 = 1/2i及c2 = −1/2i,可以得到另一个独立的解y2(x) = eax sin bx。利用重叠原则,有r = a ± bi复根的常系数线性齐次微分方程,其通解如下:
![{\displaystyle y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}\left(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa6f6f3d94496c37cce07f7285fd62042534e02)
上述的分析也可以应用在高阶微分方程,其特征方程式中也可能有非实数的共轭根。
参考资料
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Edwards, C. Henry; Penney, David E. Chapter 3. Differential Equations: Computing and Modeling. David Calvis. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education. 2008: 156–170. ISBN 978-0-13-600438-7.
- ^ 2.0 2.1 2.2 Smith, David Eugene. History of Modern Mathematics: Differential Equations. University of South Florida. [2019-05-05]. (原始内容存档于2011-07-20).
- ^ Baumol, William J. Economic Dynamics 3rd. 1970: 172.
- ^ Chiang, Alpha. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. 1984: 578, 600.
- ^ 5.0 5.1 Chu, Herman; Shah, Gaurav; Macall, Tom. Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients. eFunda. [1 March 2011]. (原始内容存档于2019-10-24).
- ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 Cohen, Abraham. An Elementary Treatise on Differential Equations. D. C. Heath and Company. 1906.
- ^ Dawkins, Paul. Differential Equation Terminology. Paul's Online Math Notes. [2 March 2011]. (原始内容存档于2021-04-14).