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待定系數法

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待定係數法是求某些非齊次常微分方程和遞推關係的特解的方法。它與微分算子方法密切相關,但不是使用特定類型的微分算子(annihilator)來找到特定解決方案的最佳可能形式,而是對適當的形式進行擬設或猜測,然後通過對所得方程進行微分來對其進行測試。對於複雜的方程式,零化器方法或參數變化的執行耗時較少。

待定係數不像參數變換法那樣普遍,因為它僅適用於遵循特定形式的微分方程。

方法

考慮以下形式的線性非齊次常微分方程

此處表示的第i個導數,表示的一個函數

待定係數法提供了一種在滿足兩個條件時獲得此ODE解的直接方法:[1]

  1. 是常量
  2. g(x)是常數,多項式函數,指數函數,正弦或餘弦函數是常數)

該方法包括尋找一般齊次解是為互補線性齊次微分方程

和一個特定的積分是p基於線性非齊次常微分方程的。那麼一般的解決方法是y到線性非齊次常微分方程將是:

[2]

如果由兩個函數組成的和,我們說是基於的解,是基於的解。然後使用疊加原理,我們可以得到特定的積分[2]

參考資料

  1. ^ Zill, Dennis G., Warren S. Wright. Advanced Engineering Mathematics. Jones and Bartlett. 2014: 125. ISBN 978-1-4496-7977-4. 
  2. ^ 2.0 2.1 Dennis G. Zill. A First Course in Differential Equations. Cengage Learning. 14 May 2008 [2022-11-16]. ISBN 978-0-495-10824-5. (原始內容存檔於2022-11-16).