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待定係數法

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待定系数法是求某些非齐次常微分方程和递推关系的特解的方法。它与微分算子方法密切相关,但不是使用特定类型的微分算子(annihilator)来找到特定解决方案的最佳可能形式,而是对适当的形式进行擬設或猜测,然后通过对所得方程进行微分来对其进行测试。对于复杂的方程式,零化器方法或参数变化的执行耗时较少。

待定系数不像參數變換法那样普遍,因为它仅适用于遵循特定形式的微分方程。

方法

考虑以下形式的线性非齐次常微分方程

此處表示的第i个导数,表示的一個函數

待定系数法提供了一种在满足两个条件时获得此ODE解的直接方法:[1]

  1. 是常量
  2. g(x)是常数,多项式函数,指数函数,正弦或余弦函数是常數)

该方法包括寻找一般齐次解是为互补线性齐次微分方程

和一个特定的积分是p基于线性非齐次常微分方程的。那么一般的解决方法是y到线性非齐次常微分方程将是:

[2]

如果由两个函数组成的和,我们说是基於的解,是基於的解。然后使用叠加原理,我们可以得到特定的积分[2]

参考资料

  1. ^ Zill, Dennis G., Warren S. Wright. Advanced Engineering Mathematics. Jones and Bartlett. 2014: 125. ISBN 978-1-4496-7977-4. 
  2. ^ 2.0 2.1 Dennis G. Zill. A First Course in Differential Equations. Cengage Learning. 14 May 2008 [2022-11-16]. ISBN 978-0-495-10824-5. (原始内容存档于2022-11-16).