全概率定理

全概率定理(Law of total probability)，假設{ B_n : n = 1, 2, 3, ... } 是一個概率空間的有限或者可數無限的分割（既 B_n為一完備事件組），且每個集合B_n是一個可測集合，則對任意事件A有全概率公式：

$\Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\cap B_{n})\,$

又因為

$\Pr(A\cap B_{n})=\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}),$

此處Pr(A | B)是B發生後A的條件概率，所以全概率公式又可寫作：

$\Pr(A)=\sum _{n}\Pr(A\mid B_{n})\Pr(B_{n}).\,$

全概率公式將對一複雜事件A的概率求解問題轉化為了在不同情況或不同原因 B_n下發生的簡單事件的概率的求和問題。

條件概率的期望值

在離散情況下，上述公式等於下面這個公式。但後者在連續情況下仍然成立：

$\Pr(A)=E(\Pr(A\mid N))$

此處N是任意隨機變量。

這個公式還可以表達為：

"A的先驗概率等於A的後驗概率的事前期望值。

參見

• 雙重期望值定理
• 全方差定理
• law of total cumulance