在数学中,狄利克雷L函数是狄利克雷级数的特例,它是形如下式的复变数函数
![{\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0973bd5e53e9b36d4bbda44aa7d08ee11f677e)
在此
是一个狄利克雷特征,
的实部大于一。此函数可解析延拓为整个复平面上的亚纯函数。
约翰·彼得·狄利克雷证明对所有
具有
,并借此证明狄利克雷定理。若
是主特征,则
在
有单极点。
零点
- 若
是原特征,
,则
在
的零点是负偶数。
- 若
是原特征,
,则
在
的零点是负奇数。
不论可能的西格尔零点,狄利克雷L函数有与黎曼ζ函数相似的无零点区域,包括
。一如黎曼ζ函数,狄利克雷L函数也有相应的广义黎曼猜想。
函数方程
假设
是模
的原特征。定义
![{\displaystyle \Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f700d72acef14cf448bb312d30c526ee076d8f)
此处
表Γ函数,而符号
由下式给出
![{\displaystyle a={\begin{cases}0,&\quad \chi (-1)=1,\\1,&\quad \chi (-1)=-1,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061fba6c8959cfc715e2529b067dd72b831e10d6)
则有函数方程
![{\displaystyle \Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d1f347c221a4bebdee25c0bfc1a4cba8b968f9)
此处的
表高斯和
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b0d5facd46c8515edb8d88e2145ad5fcbb4053)
我们亦有
。
文献