在數學中,狄利克雷L函數是狄利克雷級數的特例,它是形如下式的複變數函數
![{\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b0973bd5e53e9b36d4bbda44aa7d08ee11f677e)
在此
是一個狄利克雷特徵,
的實部大於一。此函數可解析延拓為整個複平面上的亞純函數。
約翰·彼得·狄利克雷證明對所有
具有
,並藉此證明狄利克雷定理。若
是主特徵,則
在
有單極點。
零點
- 若
是原特徵,
,則
在
的零點是負偶數。
- 若
是原特徵,
,則
在
的零點是負奇數。
不論可能的西格爾零點,狄利克雷L函數有與黎曼ζ函數相似的無零點區域,包括
。一如黎曼ζ函數,狄利克雷L函數也有相應的廣義黎曼猜想。
函數方程
假設
是模
的原特徵。定義
![{\displaystyle \Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f700d72acef14cf448bb312d30c526ee076d8f)
此處
表Γ函數,而符號
由下式給出
![{\displaystyle a={\begin{cases}0,&\quad \chi (-1)=1,\\1,&\quad \chi (-1)=-1,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/061fba6c8959cfc715e2529b067dd72b831e10d6)
則有函數方程
![{\displaystyle \Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d1f347c221a4bebdee25c0bfc1a4cba8b968f9)
此處的
表高斯和
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90b0d5facd46c8515edb8d88e2145ad5fcbb4053)
我們亦有
。
文獻