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安培环路定律

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安德烈-马里·安培

安培环路定律[1](英语:Ampère's circuital law)常直接简称为“安培定律”,是由安德烈-马里·安培于1826年提出的一条静磁学基本定律。

安培环路定律表明了:在真空载流导线所载有的稳恒电流,与磁感应强度沿著环绕导线的任意闭合回路(环路,closed loop)[注 1]的路径积分(环场积),两者之间的关系为

其中,是环绕著导线的闭合回路,磁感应强度(又称为B场),是微小线元素向量,磁常数是闭合回路所围住的电流。

亦即,在真空中的稳恒电流会产生稳恒磁场,而磁感应强度B沿任意环绕载流导线的闭合路径的线积分值(环场积),等于该选取的环路(安培环路)所包围的总电流值(各个电流的代数和)乘以真空磁导率。

1861年,詹姆斯·马克士威又将这方程式重新推导一遍,使得符合电动力学条件,并且发表结果于论文《论物理力线》内。马克士威认为,含时电场会生成磁场,假若电场含时间,则前述安培定律方程式不成立,必须加以修正。经过修正后,新的方程式称为马克士威-安培方程式,是马克士威方程组中的一个方程式,以积分形式表示为

其中,是边缘为的任意曲面,是穿过曲面的电流的电流密度电位移是微小面元素向量。

右手定则

载流回圈所产生的磁场方向可以使用右手定则来判断。其方法为将拇指外的四根手指向手掌弯的方向视为磁场方向,则拇指所指的方向即为电流的方向。

安培右手定则:将右手的大拇指指向电流方向,再将四根手指握紧电线,则弯曲的方向决定磁场的方向

右手定则也可以用来辨明一条电线四周磁场的方向。对于这用法,右手定则称为“安培右手定则”,或“安培定则”。如右图,安培右手定则表明,假若将右手的大拇指朝著电线的电流方向指去,再将四根手指握紧电线,则四根手指弯曲的方向为磁场的方向。

原版安培环路定律

一条载流导线所载有的电流会产生磁场。

安培环路定律的历史原版形式,连结了磁场与源电流。这定律可以写成两种形式,积分形式和微分形式。根据克耳文-斯托克斯定理(即ℝ³上的斯托克斯公式),对于任意向量

所以,这两种形式是等价的。

积分形式

电流在一个曲面上的通量,等于磁场沿著的边缘闭合回路的路径积分。采用国际单位制(后面会讲述CGS单位制版本),原版安培环路定律的积分形式可以写为[2]

请注意到这方程式有些模糊之处,需要特别澄清:

  • 第一,边界曲线的正向与曲面的侧符合右手规则。[注 1]
  • 第二,(固定,)定理之成立与以为边界的的选择无关。[注 2]

安培环路定律可由必欧-沙伐定律和磁场的叠加性证明(请参阅必欧-沙伐定律)。在静磁学中,安培环路定律的角色与高斯定律静电学的角色类似。当系统组态具有适当的对称性时,我们可以利用这对称性,使用安培环路定律来便利地计算磁场。例如,当计算一条直线的载流导线或一个无限长螺线管的磁场时,可以采用圆柱坐标系来匹配系统的圆柱对称性。

微分形式

根据克耳文-斯托克斯定理,这方程式也可以写为微分形式。只有当电场不含时间的时候,也就是说,当电场对于时间的偏微分等于零的时候,这方程式才成立。采用国际单位制,这方程式表示为

磁场的旋度等于(产生该磁场的)传导电流密度

电流分类

电流可以细分为自由电流和束缚电流,而束缚电流又可分类为磁化电流和电极化电流。以方程式表示,总电流密度

其中,是自由电流密度或传导电流密度,是磁化电流密度,是电极化电流密度。

从微观而言,所有的电流基本上是一样的。但是,由于实用原因,物理学家会将电流分类为自由电流和束缚电流,对于每一类电流有不同的处理方式。例如,束缚电流通常发生于原子尺寸。物理学家或许想要使用较简单但适用于较大尺寸状况的理论。因此,较微观的安培定律,以B场和微观电流(包括自由电流和束缚电流)来表达的定律,有时候会被替代为等价的形式,以附属磁场(又称为H场)和自由电流来表达的形式。后面证明段落,会有详细的关于自由电流和束缚电流的定义,与两种表述等价的证明。

自由电流

通常在教科书内所提及的单独的“电流”二字,都是指的自由电流,即自由载流子(电子及阴阳离子)的定向移动。例如,通过一条导线或一个电池的电流。自由电流与后面提到的束缚电流明显不同,后者出现于可以被磁化电极化的宏观物质里(每一种物质都会或多或少地被电极化或磁化)。

磁化电流

当一个物质被磁化的时候(例如,将此物质置入外磁场),电子仍旧会束缚于它们所属的原子。但是,它们的物理行为会有所改变(会与感受到的磁场耦合),产生微观电流。将这些电流总合在一起,会有如同宏观电流一般的效应,环绕于磁化物体内部或表面。称这电流为磁化电流,是束缚电流的一部分。称磁化电流的密度为“体磁化电流密度”,用方程式定义为

其中,磁化强度(单位体积的磁偶极矩)。

电极化电流

束缚电流的另外一种来源是电极化电流。感受到电场的作用,可电极化物质内的正束缚电荷和负束缚电荷会以原子距离相互分离。假设电场随著时间而变化,束缚电荷也会随著时间而移动,因而产生“电极化电流”,称其密度为“电极化电流密度”,用方程式定义为

其中,电极化强度

注意到电极化强度的定义式

其中,是“体束缚电荷密度”。

取电极化电流密度的散度

所以,电极化电流密度与体束缚电荷密度的关系为

原版安培环路定律的不足处

原版安培环路定律只适用于静磁学。在电动力学里,当物理量含时间,有些细节必须仔细检查。思考安培方程式,

其中,是B场,磁常数是总电流。

散度于这方程式,则会得到

应用一个向量恒等式旋度的散度必定等于零。所以,

这意味著电流密度的散度等于零:

静磁学内,这是正确的。但是,出了静磁学范围,当电流不稳定的时候,这就不一定正确了。

一个正在充电的电容器,左边的圆形金属板,被一个假想的封闭圆柱表面包围。这圆柱表面的右边表面处于电容器的两块圆形金属板之间,左边表面处于最左边。没有任何传导电流通过表面,而有电流通过表面

举个经典例子,如图右,一个正在充电的电容器,其两片金属板会随著时间分别累积异性电荷。设定表面的边缘为闭合回路。应用安培定律,

在这里,是通过任意曲面的电流,只要这曲面符合一个条件:边缘为闭合回路。所以,这任意曲面可以是表面,而;或者这任意曲面可以是封闭圆柱表面减去左边表面,而由于通过这任意曲面的电流是。选择不同的曲面会得到不同的答案,这在物理学里,是绝对不允许发生的事。

为了解决上述难题,安培环路定律必须加以修改延伸。应用流体力学的方法,马克士威摹想磁场为电介质涡旋vortex)大海,而位移电流即为大海内的电极化电流[3]。在他于1861年发表的论文《论物理力线》里面,马克士威将位移电流项目加入了安培定律[4]

位移电流

自由空间内,位移电流跟电场随著时间的变化率有关;而在电介质内,上述贡献仍旧存在,但另外一个重要贡献则与电介质的电极化有关。虽然电荷不能自由地运动于电介质,感受到外电场的作用,分子的束缚电荷可以做微小的运动。因此,正值和负值的束缚电荷会产生小距离的分离,造成电极化的增加,这可以用变量电极化强度来表达。电极化强度随著时间的变化所产生的效应就是电极化电流。

位移电流密度定义为[2]

其中,电位移,定义为

其中,电常数是电极化强度。

所以,位移电流密度分为两个部分:

这方程式右手边的第一个项目是马克士威修正项目,在任何地方都可存在,甚至在真空也可以存在。马克士威修正项目并不涉及任何真实的电荷运动,但是,它描述一个含时电场的物理行为,就好像是真实的电流。第二个项目是电极化电流密度,与电介质内单独分子的极化性有关。

原本定律的延伸:马克士威-安培方程式

将马克士威修正项目加入安培方程式:

 ;

或者,使用H场和位移电流来表达,

这就是马克士威-安培方程式,可以补救原本安培环路定律的限制。

假若使用B场的马克士威-安培方程式,由于习惯,时常会称项目为位移电流密度。由于增添了位移电流,马克士威能够推论(正确地)光波是一种电磁波(请参阅电磁波条目)。

等价证明

CGS单位制的安培方程式

采用CGS单位制,安培方程式的积分形式,包括马克士威修正项目,可以写为

其中,光速

其微分形式可以写为

备注

  1. ^ 在物理学上,英语 loop 和 circuit 在特殊语境下同义;在以下内文中,汉语对此术语 closed loop 的同义用词另有:环路、回路、回圈、环线、回线,或是闭环、闭路。

参见

注释

  1. ^ 沿著闭合回路线积分的方向有两种(顺时针方向逆时针方向)。还有,是通过边缘为闭合回路的曲面的净自由电流,包括以某方向通过的电流,减去以相反方向通过的电流。但是,两种方向中,任何一种都可以选为正值。为了澄清这些模糊之处,必须使用右手定则:当右手食指朝著线积分方向指去时,伸直的大拇指会指向微小面元素向量,设定朝著这方向流动的电流为正值。
  2. ^ 通过边缘为闭合回路的曲面有无限多选择(设想在一个闭合铁环上悬跨着一个肥皂泡,假若轻轻地往这个肥皂泡吹一口气,则泡沫的形状会变形)。不过选择哪一曲面都无所谓,因为任何边缘为的曲面皆可被证明为正确的选择。

参考文献

  1. ^ 存档副本. [2022-04-21]. (原始内容存档于2022-04-21). 
  2. ^ 2.0 2.1 David J Griffiths. Introduction to Electrodynamics 3rd Edition. Pearson/Addison-Wesley. 1999: 225, 321-325. ISBN 013805326X. 
  3. ^ Daniel M. Siegel. Innovation in Maxwell's Electromagnetic Theory: Molecular Vortices, Displacement Current, and Light. Cambridge University Press. 2003: 96-98. ISBN 0521533295. 
  4. ^ James C. Maxweel. On Physical Lines of Force (PDF). Philosophical Magazine and Journal of Science. 1961 [2009-08-08]. (原始内容存档 (PDF)于2009-06-12). 

外部链接