(z 2 − 1)(z − 2 − i )2 / z 2 + 2 + 2i 的色相环复变函数图形 。色相 表示函数的辐角,饱和度 与明度 表示函数的幅值。
复数 ,为实数 的延伸 ,它使任一多项式 方程 都有根 。复数当中有个“虚数单位 ”
i
{\displaystyle i}
,它是
−
1
{\displaystyle -1}
的一个平方根 ,即
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
。任一复数都可表达为
x
+
y
i
{\displaystyle x+yi}
,其中
x
{\displaystyle x}
及
y
{\displaystyle y}
皆为实数,分别称为复数之“实部”和“虚部”。
复数的发现源于三次方程 的根的表达式 。数学上,“复”字表明所讨论的数域 为复数,如复矩阵 、复变函数 等。
形式上,复数系统可以定义为普通实数的虚数i的代数扩展 。这意味着复数可以作为变量i中的多项式进行加,减和乘,并施加规则
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
。此外,复数也可以除以非零复数。总体而言,复数系统是一个域 。
在几何上,复数通过将水平轴用于实部,将垂直轴用于虚部,将一维 数线 的概念扩展到二维 复平面 。这些数字的点位于复平面的垂直轴上。虚部 为零的复数可以看作是实数。
但是,复数允许使用更丰富的代数结构,其中包括在向量 空间中不一定可用的附加运算。例如,两个复数的乘积总是再次产生一个复数,并且不应将其误认为是涉及向量的常规“乘积”。
历史
最早提到有关负数 的平方根 的文献出于公元1世纪古希腊数学家 亚历山大的希罗 ,他考虑的是一种不可能的平顶金字塔的域积,计算结果会是
81
−
144
=
3
i
7
{\displaystyle {\sqrt {81-144}}=3i{\sqrt {7}}}
,但这对他是不可理解的,所以他只单纯地把为正的
144
−
81
=
3
7
{\displaystyle {\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}}
。[ 1]
16世纪意大利数学家(请参看塔塔利亚 和卡尔达诺 )得出一元三次 和四次方程式 的根的表达式,并发现即使只考虑实数根,仍不可避免面对负数方根。17世纪笛卡尔 称负数方根为虚数 ,“子虚乌有的数”,表达对此的无奈和不忿。18世纪初棣莫弗 及欧拉 大力推动复数的接受。1730年,棣莫弗提出棣莫弗公式 :
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
=
cos
n
θ
+
i
sin
n
θ
{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta }
,
而欧拉则在1748年提出分析学 中的欧拉公式 [ 2] :
cos
θ
+
i
sin
θ
=
e
i
θ
{\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}
,
18世纪末,复数渐渐被大多数人接受,当时卡斯帕尔·韦塞尔 提出复数可看作平面上的一点。[ 3] 数年后,高斯 再提出此观点并大力推广,复数的研究开始高速发展。诧异的是,早于1685年约翰·沃利斯 已经在De Algebra tractatus 提出此一观点。
卡斯帕尔·韦塞尔的文章发表在1799年的Proceedings of the Copenhagen Academy 上,以当今标准来看,也是相当清楚和完备。他又考虑球体 ,得出四元数 并以此提出完备的球面三角学 理论。1804年,Abbé Buée亦独立地提出与沃利斯相似的观点,即以
±
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {-1}}}
来表示平面上与实轴垂直的单位线段。1806年,Buée的文章正式刊出,同年让-罗贝尔·阿尔冈 亦发表同类文章,而阿冈的复平面成了标准。1831年高斯认为复数不够普及,他发表了一篇备忘录,奠定复数在数学的地位。[ 4]
柯西 及阿贝尔 的努力,扫除了复数使用的最后顾忌,后者更是首位以复数研究著名的。
复数吸引了著名数学家 的注意,包括库默尔 (1844年)、克罗内克 (1845年)、Scheffler (1845年、1851年、1880年)、Bellavitis (1835年、1852年)、乔治·皮科克 (1845年)及德·摩根 (1849年)。莫比乌斯 发表了大量有关复数几何的短文,约翰·彼得·狄利克雷 将很多实数概念,例如素数 ,推广至复数。
费迪南·艾森斯坦 研究
a
+
b
j
{\displaystyle a+bj}
,其中
j
{\displaystyle j}
是
x
3
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-1=0}
的复根。其他如
x
k
−
1
=
0
{\displaystyle x^{k}-1=0}
(
k
{\displaystyle k}
是素数)亦有考虑。类以推广的先锋为库默尔的完美数 理论,经由菲利克斯·克莱因 (1893年)以几何角度加以简化。伽罗华 其后提出更一般的推广——阿贝尔-鲁菲尼定理 ,解决了五次以上多项式 的根不能表达问题。
定义
符号表示
尽管可以使用其他表示法,复数通常写为如下形式:
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
这里的
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
是实数 ,而i 是虚数单位 ,它有着性质
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
。实数
a
{\displaystyle a}
叫做复数的实部 ,而实数
b
{\displaystyle b}
叫做复数的虚部 。实数可以被认为是虚部为零的复数;就是说实数
a
{\displaystyle a}
等价于复数
a
+
0
i
{\displaystyle a+0i}
。实部为零且虚部不为零的复数也被称作“纯虚数”;而实部不为零且虚部也不为零的复数也被称作“非纯虚数”或“杂虚数”。
例如,
3
+
2
i
{\displaystyle 3+2i}
是复数,它的实部为3虚部为2。如果
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+ib}
,则实部(
a
{\displaystyle a}
)被指示为
Re
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
或
ℜ
(
z
)
{\displaystyle \Re (z)}
,而虚部(
b
{\displaystyle b}
)被指示为
Im
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
或
ℑ
(
z
)
{\displaystyle \Im (z)}
。
在某些领域(特别是电子工程 ,这里的i 是电流 的符号)中,虚部
i
{\displaystyle i}
被替代写为
j
{\displaystyle j}
,所以复数有时写为
a
+
j
b
{\displaystyle a+jb}
。
所有复数的集合 通常指示为
C
{\displaystyle C}
,或者用黑板粗体 写为
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
。实数
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
可以被当作
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
的子集 ,通过把实数的所有成员当作复数:
a
=
a
+
0
i
{\displaystyle a=a+0i}
。
等量关系
复数中的虚数是无法比较大小的,即两个虚数只有相等和不等两种等量关系。
两个复数是相等的,当且仅当 它们的实部是相等的并且它们的虚部是相等的。就是说,设
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
,
c
{\displaystyle c}
,
d
{\displaystyle d}
为实数,则
a
+
b
i
=
c
+
d
i
{\displaystyle a+bi=c+di}
当且仅当
a
=
c
{\displaystyle a=c}
并且
b
=
d
{\displaystyle b=d}
。
运算
通过形式上应用代数 的结合律 、交换律 和分配律 ,再加上等式
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
,定义复数的加法、减法、乘法和除法:
加法 :
(
a
+
b
i
)
+
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
减法 :
(
a
+
b
i
)
−
(
c
+
d
i
)
=
(
a
−
c
)
+
(
b
−
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
乘法 :
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
a
c
+
b
c
i
+
a
d
i
+
b
d
i
2
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
b
c
+
a
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i}
除法 :
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
b
i
)
(
c
−
d
i
)
(
c
+
d
i
)
(
c
−
d
i
)
=
a
c
+
b
c
i
−
a
d
i
−
b
d
i
2
c
2
−
(
d
i
)
2
=
(
a
c
+
b
d
)
+
(
b
c
−
a
d
)
i
c
2
+
d
2
=
(
a
c
+
b
d
c
2
+
d
2
)
+
(
b
c
−
a
d
c
2
+
d
2
)
i
{\displaystyle \,{\frac {(a+bi)}{(c+di)}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bci-adi-bdi^{2}}{c^{2}-(di)^{2}}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i}
复数域
复数可定义为实数
a
,
b
{\displaystyle a,b}
组成的有序对 ,而其相关之和 及积 为:
(
a
,
b
)
+
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
{\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}
,
(
a
,
b
)
⋅
(
c
,
d
)
=
(
a
c
−
b
d
,
b
c
+
a
d
)
{\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)}
,
复数数系是一个域 ,复数域常以
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
来表示。
一个实数
a
{\displaystyle a}
等同于复数
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,0)}
,故实数域为复数域的子域 。虚数单位
i
{\displaystyle i}
就是复数
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
。此外,还有:
加法单位元 (“零元”):
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
乘法单位元(“幺元”):
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
的加法逆元 :
(
−
a
,
−
b
)
{\displaystyle (-a,-b)}
非零
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
的乘法逆元 (倒数):
(
a
a
2
+
b
2
,
−
b
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle \left({a \over a^{2}+b^{2}},{-b \over a^{2}+b^{2}}\right)}
。
复数域亦可定为代数数 的拓扑闭包 或实数域的代数闭包 。
复平面
先把坐标轴画出来,横的叫实轴,竖的叫虚轴,然后确定0的位置,
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
可以用二维空间来表示出来。
复数
z
{\displaystyle z}
可以被看作在被称为阿甘得图 (得名于让-罗贝尔·阿冈 ,也叫做高斯 平面)的二维笛卡尔坐标系 内的一个点或位置向量 。这个点也就是这个复数
z
{\displaystyle z}
可以用笛卡尔(直角)坐标指定。复数的笛卡尔坐标是实部
x
=
ℜ
z
{\displaystyle x=\Re z}
和虚部
y
=
ℑ
z
{\displaystyle y=\Im z}
。复数的笛卡尔坐标表示叫做复数的“笛卡尔形式”、“直角形式”或“代数形式”。
绝对值、共轭与距离
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{i\phi }}
,则
|
z
|
=
r
{\displaystyle |z|=r}
是
z
{\displaystyle z}
的“绝对值 ” (“模 ” 、“幅值 ” )。如果
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
,则
|
z
|
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
.
对所有
z
{\displaystyle z}
及
w
{\displaystyle w}
,有
|
z
|
−
|
w
|
≤
|
z
+
w
|
≤
|
z
|
+
|
w
|
{\displaystyle |z|-|w|\leq |z+w|\leq |z|+|w|}
|
z
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle |zw|=|z|\;|w|}
|
z
w
|
=
|
z
|
|
w
|
{\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}}}
当定义了距离
d
(
z
,
w
)
=
|
z
−
w
|
{\displaystyle d(z,w)=\left|z-w\right|}
,复数域便成了度量空间 ,我们亦可谈极限 和连续 。加法、乘法及除法都是连续的运算。
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+ib}
的共轭复数 定义为
z
=
a
−
i
b
{\displaystyle z=a-ib}
,记作
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
或
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
。如图所示,
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
是
z
{\displaystyle z}
关于实数轴的“对称点”。有
z
+
w
¯
=
z
¯
+
w
¯
{\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}}
z
w
¯
=
z
¯
⋅
w
¯
{\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}}
(
z
w
)
¯
=
z
¯
w
¯
{\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}}
z
¯
¯
=
z
{\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}
z
¯
=
z
{\displaystyle {\overline {z}}=z}
当且仅当
z
{\displaystyle z}
是实数
|
z
|
=
|
z
¯
|
{\displaystyle |z|=|{\overline {z}}|}
|
z
|
2
=
z
z
¯
{\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}}
z
−
1
=
z
¯
|
z
|
−
2
{\displaystyle z^{-1}={\overline {z}}|z|^{-2}}
若
z
{\displaystyle z}
非零。这是计算乘法逆最常用的等式。
对于所有代数运算
f
{\displaystyle f}
,共轭值是可交换的。这即是说
f
(
z
¯
)
=
f
(
z
)
¯
{\displaystyle f({\overline {z}})={\overline {f(z)}}}
。一些非代数运算如正弦 “
sin
{\displaystyle \sin }
”亦有此性质。这是由于
i
{\displaystyle i}
的不明确选择——
x
2
=
−
1
{\displaystyle x^{2}=-1}
有二解。可是,共轭值是不可微分的(参见全纯函数 )。
一复数
z
=
r
e
i
ϕ
{\displaystyle z=re^{i\phi }}
的“幅角”或“相位”为
ϕ
{\displaystyle \phi }
。此值对模
2
π
{\displaystyle 2\pi }
而言是唯一的。
对于乘法和除法分别有:
r
e
α
i
s
e
β
i
=
(
r
s
)
e
(
α
+
β
)
i
{\displaystyle \,re^{\alpha i}se^{\beta i}=(rs)e^{(\alpha +\beta )i}}
(即“模值相乘,幅角相加”)
r
e
α
i
s
e
β
i
=
r
s
e
(
α
−
β
)
i
{\displaystyle \,{\frac {re^{\alpha i}}{se^{\beta i}}}={\frac {r}{s}}e^{(\alpha -\beta )i}}
(即“模值相除,幅角相减”)
复数运算的几何解释
X = A + B
X = AB
X = A *
考虑一个平面 。一个点是原点0。另一个点是单位1。
两个点A 和B 的和 是点X = A + B 使得顶点 0, A , B 的三角形 和顶点X , B , A 的三角形是全等 的。
两个点A 和B 的积 是点X = AB 使得顶点0, 1, A 的三角形和顶点0 , B , X 的三角形是相似 的。
点A 的共轭复数 是点X = A * 使得顶点0, 1, A 的三角形和顶点0, 1, X 的三角形相互是镜像 。
极坐标形式
复数
z
{\displaystyle z}
也可以用极坐标 来表示。
z
{\displaystyle z}
所对应的极坐标由叫做绝对值 或模 的
r
=
|
z
|
≥
0
{\displaystyle r=\left\vert z\right\vert \geq 0}
和叫做辐角 的
φ
=
arg
z
{\displaystyle \varphi =\arg z}
组成。若
r
=
0
{\displaystyle r=0}
,不论
φ
{\displaystyle \varphi }
值为何,
z
=
0
{\displaystyle z=0}
。为了避免一个复数具有多种极坐标表示的情况,通常会设置
arg
0
=
0
{\displaystyle \arg 0=0}
,从而让
z
=
0
{\displaystyle z=0}
所对应的
φ
{\displaystyle \varphi }
具有唯一的值:
0
{\displaystyle 0}
。
r
>
0
{\displaystyle r>0}
时,复数在辐角
φ
{\displaystyle \varphi }
模以
2
π
{\displaystyle 2\pi }
后是唯一的;就是说,对于两个被视为极坐标表示的复数而言,若它们的辐角之差是
2
π
{\displaystyle 2\pi }
的整数倍数,则这两个复数等价。因此,通常会限制
φ
{\displaystyle \varphi }
在区间
(
−
π
,
π
]
{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}
内,也就是说
−
π
<
φ
≤
π
{\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }
,以此来避免一个复数具有多种极坐标表示的情况。
极坐标形式的写法
极坐标形式的写法
z
=
r
(
cos
φ
+
i
sin
φ
)
{\displaystyle z=r\,(\cos \varphi +i\sin \varphi )}
,
被叫做“三角形式”。有时使用符号cis φ简写c os φ + i s in φ。
使用欧拉公式 还可以写为
z
=
r
e
i
φ
,
{\displaystyle z=r\,\mathrm {e} ^{i\varphi }\,,}
这叫做“指数形式”。
从极坐标形式到笛卡尔坐标形式的转换
x
=
r
cos
φ
{\displaystyle x=r\cos \varphi }
y
=
r
sin
φ
{\displaystyle y=r\sin \varphi }
从笛卡尔坐标形式到极坐标形式的转换
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
φ
=
{
arctan
(
y
x
)
if
x
>
0
arctan
(
y
x
)
+
π
if
x
<
0
and
y
≥
0
arctan
(
y
x
)
−
π
if
x
<
0
and
y
<
0
+
π
2
if
x
=
0
and
y
>
0
−
π
2
if
x
=
0
and
y
<
0
u
n
d
e
f
i
n
e
d
if
x
=
0
and
y
=
0.
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\\mathrm {undefined} &{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}
前面的公式要求非常繁杂的情况区分。但是很多编程语言提供了经常叫做atan2 一个变体的反正切 函数来处理这些细节。使用反余弦函数的公式要求更少的情况区分:
φ
=
{
+
arccos
x
r
if
y
≥
0
and
r
≠
0
−
arccos
x
r
if
y
<
0
u
n
d
e
f
i
n
e
d
if
r
=
0.
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}+\arccos {\frac {x}{r}}&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos {\frac {x}{r}}&{\mbox{if }}y<0\\\mathrm {undefined} &{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}}
极坐标形式下的乘法、除法、指数和开方根
在极坐标形式下乘法、除法、指数和开方根要比笛卡尔形式下容易许多。
使用三角恒等式 得到
r
1
e
i
φ
1
⋅
r
2
e
i
φ
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
+
φ
2
)
{\displaystyle r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}=r_{1}\,r_{2}\,e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}}
,
和
r
1
e
i
φ
1
r
2
e
i
φ
2
=
r
1
r
2
e
i
(
φ
1
−
φ
2
)
{\displaystyle {\frac {r_{1}\,e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}\,e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\,e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}}
。
依据棣莫弗定理 做整数幂的指数运算,
(
r
e
i
φ
)
n
=
r
n
e
i
n
φ
{\displaystyle {\big (}r\,e^{i\varphi }{\big )}^{n}=r^{n}\,e^{in\varphi }}
。
任意复数幂的指数运算在条目指数函数 中讨论。
两个复数的加法只是两个向量的向量加法 ,乘以一个固定复数的可以被看作同时旋转和伸缩。
乘以
i
{\displaystyle i}
对应于一个逆时针旋转90 度 (
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
弧度 )。方程
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
的几何意义是顺序的两个90度旋转导致一个180度(
π
{\displaystyle \pi }
弧度)旋转。甚至算术中的
(
−
1
)
×
(
−
1
)
=
+
1
{\displaystyle (-1)\times (-1)=+1}
都可以被在几何上被理解为两个180度旋转的组合。
任何数的所有方根 ,实数或复数的,都可以用简单的算法 找到。
n
{\displaystyle n}
次方根给出为
r
e
i
φ
n
=
r
n
e
i
(
φ
+
2
k
π
n
)
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}\ e^{i\left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)}}
对于
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}
,这里的
r
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}
表示
r
{\displaystyle r}
的主
n
{\displaystyle n}
次方根。
下表给出任何复数
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
的加法 和乘法 的基本性质。
性质
加法
乘法
封闭性
a
+
b
∈
C
{\displaystyle a+b\in \mathbb {C} }
a
×
b
∈
C
{\displaystyle a\times b\in \mathbb {C} }
结合律
a
+
(
b
+
c
)
=
(
a
+
b
)
+
c
{\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}
a
×
(
b
×
c
)
=
(
a
×
b
)
×
c
{\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}
交换律
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
a
×
b
=
b
×
a
{\displaystyle a\times b=b\times a}
存在单位元
a
+
0
=
a
{\displaystyle a+0=a}
a
×
1
=
a
{\displaystyle a\times 1=a}
存在逆元
a
+
(
−
a
)
=
0
{\displaystyle a+(-a)=0}
a
×
1
a
=
1
(
a
≠
0
)
{\displaystyle a\times {\frac {1}{a}}=1\quad (a\neq 0)}
分配律
a
×
(
b
+
c
)
=
a
×
b
+
a
×
c
{\displaystyle a\times (b+c)=a\times b+a\times c}
一些特性
矩阵表达式
这是个实用价值不大,但具数学意义的表达式 ,是将复数看作能旋转 及缩放 二维位置矢量的2×2实数矩阵 ,即是
a
+
i
b
↔
(
a
−
b
b
a
)
=
r
[
cos
φ
−
sin
φ
sin
φ
cos
φ
]
=
r
exp
(
φ
[
0
−
1
1
0
]
)
,
{\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}=r{\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}}=r\exp \left(\varphi {\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\right),}
其中
a
{\displaystyle a}
及
b
{\displaystyle b}
为实数。可算出此类矩阵的和、积及乘法逆都是此类矩阵。此外
(
a
−
b
b
a
)
=
a
(
1
0
0
1
)
+
b
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}=a{\begin{pmatrix}1&\;\;0\\0&\;\;1\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}
即实数1对应着单位矩阵
(
1
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\;\;0\\0&\;\;1\end{pmatrix}}}
,
而虚数单位
i
{\displaystyle i}
对应着
(
0
−
1
1
0
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}}
。
此矩阵令平面作逆时钟90度旋转,它的平方就是-1。
复数的绝对值就是行列式 的平方根 。这些矩阵对应相应的平面变换,其旋转角度等于复数的遍角,改变比例等于复数的绝对值。复数的轭就是矩阵的转置 。
若矩阵中的
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
本来就是复数,则构成的代数便是四元数 。由此,矩阵代表法可看成代数的凯莱-迪克森结构法 。
实向量空间
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
可以视作二维实 线性空间 。[ 5] 不同于实数域,复数域上不可能有与其算术相容的全序 :
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
并非有序域 。
多项式的根
满足
p
(
z
)
=
0
{\displaystyle p(z)=0}
的复数z 是多项式
p
{\displaystyle p}
的“根”。代数基本定理 指出,所有
n
{\displaystyle n}
次多项式,不管实数系数抑或复数系数的,都刚好有
n
{\displaystyle n}
个复数根(
k
{\displaystyle k}
重根按
k
{\displaystyle k}
个计算)。这定理等价于复数域是代数闭域 。
事实上,复数域是实数域的代数闭包 。它是多项式 环
R
[
X
]
{\displaystyle \mathbb {R} [X]}
经由理想
⟨
X
2
+
1
⟩
{\displaystyle \left\langle X^{2}+1\right\rangle }
显生出的商环 :
C
=
R
[
X
]
/
(
X
2
+
1
)
{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}
。
这是一个域因为
X
2
+
1
{\displaystyle X^{2}+1}
为不可约多项式 ,而
X
{\displaystyle X}
在商环内对应着虚数单位
i
{\displaystyle i}
。
代数特征
复数域
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
唯一(就域同构 来说)的域拥有三项代数特征:
而然,
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
包含很多与
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
同构 的子域 。
不可排序
在
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
上不可能建立与其加法及乘法相容之全序关系 ,即不存在一全序
⪯
{\displaystyle \preceq }
使得对于任意复数
z
1
,
z
2
{\displaystyle z_{1},z_{2}}
,有
0
⪯
z
1
,
z
2
⇒
0
⪯
z
1
+
z
2
,
0
⪯
z
1
z
2
{\displaystyle 0\preceq z_{1},z_{2}\Rightarrow 0\preceq z_{1}+z_{2},0\preceq z_{1}z_{2}}
。
复指数幂
计算一个实数的复数幂是可以的。
a
z
{\displaystyle a^{z}}
可以定义为
e
z
⋅
ln
(
a
)
{\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}}
。
复分析
研究复变函数的理论称为复分析 。它在应用数学 和其他数学分支上都有许多实际应用。实分析 和数论 的结果,最自然的证明经常是以复分析的技巧完成(例子可见素数定理 )。
复变函数的图像是四维的,所以不像实变函数般可以用平面图像表示。要表示复变函数的图像,可以用有颜色的三维图像表达四维信息,或者以动画表示函数对复平面的动态变换。
应用
系统分析
在系统分析 中,系统常常通过拉普拉斯变换 从时域 变换到频域 。因此可在复平面上分析系统的极点 和零点 。分析系统稳定性的根轨迹法 、奈奎斯特图法 和尼科尔斯图法 都是在复平面上进行的。
无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面,根轨迹法都很重要。如果系统极点
位于右半平面,则因果系统 不稳定;
都位于左半平面,则因果系统稳定;
位于虚轴上,则系统为临界稳定 的。
如果稳定系统的全部零点都位于左半平面,则这是个最小相位系统 。如果系统的极点和零点关于虚轴对称,则这是全通系统 。
信号分析
信号分析 和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。模值
|
z
|
{\displaystyle \left\vert z\right\vert }
表示信号的幅度 ,辐角
arg
z
{\displaystyle \arg z}
表示给定频率 的正弦波 的相位 。
利用傅里叶变换 可将实信号表示成一系列周期函数的和。这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示:
f
(
t
)
=
z
e
i
ω
t
{\displaystyle f(t)=ze^{i\omega t}}
,
其中
ω
{\displaystyle \omega }
对应角频率 ,复数
z
{\displaystyle z}
包含了幅度和相位的信息。
电路 分析中,引入电容 、电感 与频率有关的虚部可以方便的将电压 、电流 的关系用简单的线性方程表示并求解。(有时用字母
j
{\displaystyle j}
作为虚数单位,以免与电流符号i 混淆。)
反常积分
在应用层面,复分析常用以计算某些实值的反常积分 ,借由复值函数得出。方法有多种,见围道积分方法 。
量子力学
量子力学 中复数是十分重要的,因其理论是建基于复数域上无限维的希尔伯特空间 。
相对论
如将时间变量视为虚数的话便可简化一些狭义 和广义相对论 中的时空 度量张量 (Metric Tensor)方程。
应用数学
实际应用中,求解给定差分方程 模型的系统,通常首先找出线性差分方程对应的特征方程 的所有复特征根r ,再将系统以形为f (t )= e rt 的基函数的线性组合 表示。
流体力学
复函数于流体力学 中可描述二维 势流 。
电路分析
物理 和工程 领域中的交流 电路分析 ,使用到相量 作表达正弦信号 。
分形
一些分形 如曼德博集合 和茹利亚集 (Julia set)是建基于复平面上的点的。
复数的平方根
复数的平方根是可以计算的。其公式为
x
+
i
y
=
|
x
+
i
y
|
+
x
2
±
i
|
x
+
i
y
|
−
x
2
{\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|+x}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {\left|x+iy\right|-x}{2}}}}
。
参见
参考资料
^ Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of √-1 . Princeton University Press . 2007 [20 April 2011] . ISBN 978-0-691-12798-9 . (原始内容存档 于12 October 2012).
^ Euler, Leonard. Introductio in Analysin Infinitorum [Introduction to the Analysis of the Infinite] vol. 1 . Lucerne, Switzerland: Marc Michel Bosquet & Co. 1748: 104 [2021-11-03 ] . (原始内容存档 于2021-11-21) (拉丁语) .
^ Wessel, Caspar. Om Directionens analytiske Betegning, et Forsog, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Oplosning [On the analytic representation of direction, an effort applied in particular to the determination of plane and spherical polygons] . Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter [New Collection of the Writings of the Royal Danish Science Society]. 1799, 5 : 469–518 [2024-04-10 ] . (原始内容存档 于2024-04-09) (丹麦语) .
^ Gauss, Carl Friedrich. Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda. [Theory of biquadratic residues. Second memoir.] . Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores. 1831, 7 : 89–148 [2024-04-10 ] . (原始内容存档 于2024-04-09) (拉丁语) .
^ 缪龙骥. 從實數到複數 . 数学知识. [2014-10-22 ] . (原始内容存档 于2014-10-09).
延伸阅读
An Imaginary Tale: The Story of
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}}
, by Paul J. Nahin; Princeton University Press; ISBN 0-691-02795-1 (hardcover, 1998). A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
Numbers , by H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert; Springer; ISBN 0-387-97497-0 (hardcover, 1991). An advanced perspective on the historical development of the concept of number.
The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe , by Roger Penrose ; Alfred A. Knopf, 2005; ISBN 0-679-45443-8 . Chapters 4-7 in particular deal extensively (and enthusiastically) with complex numbers.
Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra , by John Derbyshire; Joseph Henry Press; ISBN 0-309-09657-X (hardcover 2006). A very readable history with emphasis on solving polynomial equations and the structures of modern algebra.
Visual Complex Analysis , by Tristan Needham ; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). History of complex numbers and complex analysis with compelling and useful visual interpretations.
外部链接
可数集
自然数 (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
)
整数 (
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
)
有理数 (
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
)
规矩数
代数数 (
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
)
周期
可计算数
可定义数
高斯整数 (
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
)
艾森斯坦整数
合成代数
可除代数 :实数 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
)
复数 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)
四元数 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
)
八元数 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
)
凯莱-迪克森结构
实数 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
)
复数 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)
四元数 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
)
八元数 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
)
十六元数 (
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
)
三十二元数
六十四元数
一百二十八元数
二百五十六元数……
分裂 形式 其他超复数 其他系统