局部域
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在數學上,局部域是一類特別的域,它有非平凡的絕對值,此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部域可粗分為兩類:一種的絕對值滿足阿基米德性質(稱作阿基米德局部域),另一種的絕對值不滿足阿基米德性質(稱作非阿基米德局部域)。在數論中,數域的完備化給出局部域的典型例子。
非阿基米德局部域
設為非阿基米德局部域,而為其絕對值。關鍵在下述對象:
上述對象與賦值環的構造相呼應;事實上,可證明必存在實數及離散賦值,使得
- .
可取唯一的使得為滿射,稱之為正規化賦值。
從此引出非阿基米德局部域的另一個等價定義:一個域,帶離散賦值,使得成為完備的拓撲域,而且剩餘域有限。
這類局部域的行為可由局部類域論描述。
分類
局部域的完整分類如次:
文獻
- Milne, James, Algebraic Number Theory.
- Serre, Jean-Pierre. Corps locaux. Hermann. 1968.
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