數學上,超極限是幾何的構造法,對一個度量空間序列Xn指定一個度量空間為其極限。超極限推廣了度量空間的格羅莫夫-豪斯多夫收斂。
超濾子
在自然數集
上的超濾子ω,是一個有限可加的集合函數(可視為有限可加測度)
,從自然數集的冪集
映射到集合{0,1}上,使得
。一個在
上的超濾子ω 稱為非主要的,若對所有有限子集
, 都有ω(F)=0。
點序列關於一個超濾子的極限
設ω是
上的非主要超濾子。
若
是度量空間(X,d)上的點序列,x∈ X,稱x是xn的ω -極限,記為
,若對所有
都有
![{\displaystyle \omega \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90713d5ae2837181344fbb8dfc5a619c9a571cb3)
不難看出:
- 若一個點序列的ω-極限存在,則是唯一的。
- 若在標準意義下
,則
。(這性質成立,關鍵在超濾子是非主要的。)
若(X,d)緊緻,則每個點序列都存在ω-極限。故此,實數的有界序列都存在ω-極限。
有基點度量空間的超極限
設ω是在
上的非主要超濾子。設 (Xn,dn) 是度量空間,有基點pn∈Xn。
考慮序列
,其中xn∈Xn。這個序列稱為容許的,若實數序列(dn(xn,pn))n有界,也就是存在正實數C,使得
。記容許序列的集合為
。
由三角不等式可知對兩個容許序列
及
,序列(dn(xn,yn))n有界,因此存在ω-極限
。在
中定義關係
如下:對
,每當
時便有
。易知
是等價關係。
序列(Xn,dn, pn)關於ω的超極限是一個度量空間
,定義如下。[1]
作為集合,有
。
對兩個容許序列
及
的
等價類
,定義
不難看到
有良好定義,且為
上的度量。
記
。
備註