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超極限

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數學上,超極限是幾何的構造法,對一個度量空間序列Xn指定一個度量空間為其極限。超極限推廣了度量空間的格羅莫夫-豪斯多夫收斂

超濾子

在自然數集上的超濾子ω,是一個有限可加的集合函數(可視為有限可加測度,從自然數集的冪集映射到集合{0,1}上,使得。一個在上的超濾子ω 稱為非主要的,若對所有有限子集, 都有ω(F)=0。

點序列關於一個超濾子的極限

ω上的非主要超濾子。 若度量空間(X,d)上的點序列,xX,稱xxnω -極限,記為,若對所有都有

不難看出:

  • 若一個點序列的ω-極限存在,則是唯一的。
  • 若在標準意義下,則。(這性質成立,關鍵在超濾子是非主要的。)

若(X,d)緊緻,則每個點序列都存在ω-極限。故此,實數的有界序列都存在ω-極限。

有基點度量空間的超極限

ω是在上的非主要超濾子。設 (Xn,dn) 是度量空間,有基點pnXn

考慮序列,其中xnXn。這個序列稱為容許的,若實數序列(dn(xn,pn))n有界,也就是存在正實數C,使得。記容許序列的集合為

由三角不等式可知對兩個容許序列,序列(dn(xn,yn))n有界,因此存在ω-極限。在中定義關係如下:對,每當時便有 。易知等價關係

序列(Xn,dn, pn)關於ω超極限是一個度量空間,定義如下。[1]

作為集合,有

對兩個容許序列等價類,定義

不難看到有良好定義,且為 上的度量

備註

  1. ^ John Roe. Lectures on Coarse Geometry. American Mathematical Society, 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2; Definition 7.19, p. 107.