戴德金群
戴德金群(Dedekind group)指的是一類所有的子群都是正規子群的群,所有的交換群都是戴德金群,非交換的戴德金群又稱漢彌爾頓群(Hamiltonian group)。[1]
階數最小的漢彌爾頓群是四元群,四元群具有八個元素,一般記做。戴德金和貝爾(Reinhold Baer)證明說所有的漢彌爾頓群都是的直積,其中是二階初等阿貝爾群,而則是周期性交換群,且所有元素的階數皆是奇數。
戴德金群以理查德·戴德金,戴德金曾在1897年的一篇文章中研究這類的群,並為有限群提供了上述的結構理論,他並以四元數的發現者威廉·哈密頓爵士之名來命名非交換的戴德金群。
在1898年,乔治·米勒(George Abram Miller)描述了漢彌爾頓群及其子群的階的結構,像例如他發現說若一個漢彌爾頓群的階數為,那這個群會有一個階數為的四元數子群;在2005年,霍瓦特氏(Horvat)等人[2]利用這樣的結構來計算階數為的漢彌爾頓群的數量,其中是一個奇數。在的時候,沒有漢彌爾頓群的階數為,對於其他的,階數為的漢彌爾頓群的個數,和階數為的交換群一樣多。
註解
- ^ Hall. The theory of groups. 1999: 190 [2020-12-06]. (原始内容存档于2013-06-21).
- ^ Horvat, Boris; Jaklič, Gašper; Pisanski, Tomaž. On the Number of Hamiltonian Groups. 2005-03-09. arXiv:math/0503183
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參考資料
- Dedekind, Richard, Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind, Mathematische Annalen, 1897, 48 (4): 548–561 [2020-12-06], ISSN 0025-5831, JFM 28.0129.03, MR 1510943, doi:10.1007/BF01447922, (原始内容存档于2016-03-03).
- Baer, R. Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe, Sitz.-Ber. Heidelberg. Akad. Wiss.2, 12–17, 1933.
- Hall, Marshall, The theory of groups, AMS Bookstore: 190, 1999, ISBN 978-0-8218-1967-8.
- Horvat, Boris; Jaklič, Gašper; Pisanski, Tomaž, On the number of Hamiltonian groups, Mathematical Communications, 2005, 10 (1): 89–94, Bibcode:2005math......3183H, arXiv:math/0503183
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- Miller, G. A., On the Hamilton groups, Bulletin of the American Mathematical Society, 1898, 4 (10): 510–515, doi:10.1090/s0002-9904-1898-00532-3.
- Taussky, Olga, Sums of squares, American Mathematical Monthly, 1970, 77 (8): 805–830, JSTOR 2317016, MR 0268121, doi:10.2307/2317016, hdl:10338.dmlcz/120593.