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在航天動力學裏,一個圓錐曲線的離心率向量是一個向量,從焦點指向近拱點,量值等於軌道的離心率純量,是個無因次量。
計算
離心率向量 (eccentricity vector)
是個大小等於軌道離心率 (eccentricity ) 且方向指向近心點 (periapsis 或 pericenter) 的向量。對克卜勒軌道而言,它是個運動常數。在使用狀態向量 (
) 進行軌道測定或軌道決定 (orbit determination, OD) 時,它可以決定諸多與運動有關的軌道要素,如離心率 (
) (eccentricity) 及半長軸 (
) (semi-major axis),並可指出近心點方向,以便計算近心點引數
(argument of periapsis)、真近心點離角(真近點角)
(true anomaly)。在攝動或擾動 (perturbation) 分析時, 因為實際軌道上的攝動(非克卜勒)力將使密切 (osculating) 離心率向量不斷變化,故用來分析幾乎為圓形的軌道時非常有用。該向量可以由任何時間
的軌道狀態向量(orbital state vector)中的速度向量
與位置向量
計算出來[1]:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} &={\mathbf {v} \times \mathbf {h} \over {\mu }}-{\mathbf {r} \over {\left|\mathbf {r} \right|}}\\&=\left({\mathbf {\left|v\right|} ^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|\mathbf {r} \right|}}\right)\mathbf {r} -{\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \over {\mu }}\mathbf {v} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4a39c2158f919aaafbfc2b2c5d0bfe9d519e95f)
第二個等式可以直接根據以下向量恆等式(運算並分別集結位置和速度分量後)推導出來:
![{\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d0dd0e6d48228ff8844ff554ba14312d5ad880d)
![{\displaystyle \mathbf {v} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)=\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd00f9f698cebb37fcf21d6392a6e3ba6d6aa84)
其中:
為 位置向量 (position vector)
為 速度向量 (velocity vector)
為 比角動量向量 (specific angular momentum vector) (
)
為 標準重力參數 (standard gravitational parameter)。
換另一種表示方法,離心率向量也可以由質量為
的物體的角動量
計算出來:
。
參閱
- ^ Cordani, Bruno. The Kepler Problem. Birkhaeuser. 2003: 22. ISBN 3-7643-6902-7.