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鏈複形

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數學上,同調代數領域中的一個鏈複形是一個交換群或者的序列A0, A1, A2... 通過一系列同態dn : AnAn-1相連,使得每兩個連接的映射的複合為零:dn o dn+1 = 0對於所有n。它們常常寫作如下形式:

定義鏈複形的同調群。當所有同調群為零時,此鏈複形為正合的。

鏈複形概念的一個變種是上鏈複形。一個上鏈複形是一個交換群或者的序列A0, A1, A2...由一系列同態dn : AnAn+1相連,使得任何兩個接連的映射的複合為零:dn+1 o dn = 0 對於所有的n:

定義上鏈複形的上同調群。當所有上同調群為零時,此上鏈複形正合。想法基本上是一樣的。

鏈複形的應用通常定義並應用它們的同調群(對於上鏈複形是上同調群);在更抽象的範圍里,很多等價關係被應用到複形上(例如從鏈同倫的思想開始,以下將解說)。鏈複形很容易在交換範疇中定義。

一個有界複形是其中,幾乎所有Ai為零—這樣一個有限的複形,用0來伸展到左邊和右邊。一個例子是定義一個(有限)單純複形同調理論的複形。

例子

假定我們給定一個拓撲空間X

定義Cn(X)(對於自然數n)為自由交換群X中的奇異單純形形式化的生成,並定義邊界映射

其中帽子表示省略一個頂點。也就是說,一個奇異單純形的邊界是限制到其面的交替和。可以證明∂² = 0,所以是一個鏈複形;奇異同調 是該複形的同調類;也就是說,

.

任何光滑流形上的微分k-形式在加法下組成一個交換群(事實上一個R-向量空間)稱為Ωk(M)。 外導數 d = d k 映射 Ωk(M) → Ωk+1(M),而且d 2 = 0可以直接從二階導數的對稱性導出,所以k-形式的向量空間和外導數一起成為一個上鏈複形

該複形的上同調是德拉姆上同調

.

鏈映射

兩個鏈複形 之間的鏈映射是一族同態 ,使之滿足: ;全體鏈複形依此構成一範疇。鏈映射誘導出同調群間的映射。

上鏈複形的情形類似:兩個上鏈複形 之間的上鏈映射是一族同態 ,使之滿足: 。上鏈映射也誘導出上同調群間的映射。

舉例來說,拓撲空間之間的連續映射誘導出奇異上同調的鏈映射;而光滑流形間的光滑映射則誘導出德拉姆上同調的上鏈映射。這是函子性或稱自然性的一個例子:空間與映射的拓撲/幾何性質藉此反映在代數結構上,因而變得容易操作與計算。

鏈同倫

兩個鏈映射 稱作是同倫的,若且唯若存在一族同態 使得

上鏈映射的同倫定義也類似,惟此時考慮的是一族同態 。以下給出上鏈同倫的圖解:

(上)鏈同倫的鏈映射在(上)同調群上誘導出相同的映射。特別是:同倫於恆等映射 id. 的(上)鏈映射是擬同構

鏈映射的同倫可理解作單純形同倫的代數翻譯。

參看